ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 216

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1107–1112 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 20. Елементи статистики. Способи подання да-

Завдання 1107

Частотна таблиця та гістограма маси калачів

Пекарня випікає кілограмові калачі. Масу відхилення від 1 кг для 100 калачів подано так:
- менша на 31–40 г — 3 калачі;
- менша на 21–30 г — 15 калачів;
- менша на 11–20 г — 20 калачів;
- менша на 1–10 г — 30 калачів;
- більша на 1–9 г — 17 калачів;
- більша на 10–19 г — 2 калачі.
Скласти частотну таблицю і побудувати гістограму.

Розв’язання

Скласти таблицю, де в першому стовпці записати діапазони відхилення маси ( $31 - 40$ г, $21 - 30$ г тощо), а в другому — відповідні частоти ( $3, 15, 20, 30, 17, 2$ ).
Перевірити суму частот: $3 + 15 + 20 + 30 + 17 + 2 = 87$ . (Примітка: у умові вказано «зі ста калачів», але сума чисел дає 87. Робимо розбір за вказаними цифрами).
Побудувати вісь $X$ (відхилення маси) та вісь $Y$ (кількість калачів).
Для кожного інтервалу накреслити прямокутник, ширина якого дорівнює ширині інтервалу (усі рівні 10 г), а висота — кількості калачів.

Відповідь:

Частотна таблиця готова. Гістограма побудована на основі цієї таблиці (прямокутники висотою $3, 15, 20, 30, 17, 2$ над інтервалами відхилення).

Завдання 1108

Частотна таблиця та гістограма виручки

Розміри денної виручки (у тисячах гривень) у 30 магазинах такі: 42, 24, 49, 76, 45, 27, 39, 21, 58, 40, 28, 78, 44, 66, 20, 62, 70, 81, 7, 68, 99, 76, 63, 87, 65, 104, 46, 20, 72, 93. Скласти частотну таблицю на 5 інтервалів і побудувати гістограму.

Розв’язання

Знайдемо мінімум ( $7$ ) і максимум ( $104$ ). Розмах $R = 97$ . Ділимо на 5 інтервалів: ширина $\approx 20$ . Обираємо зручні цілісні межі: $[7; 27), [27; 47), [47; 67), [67; 87), [87; 107]$ .
Підрахуємо кількість магазинів у кожному інтервалі:
- $[7; 27)$ : числа 7, 20, 20, 21, 24, 27 (враховуючи межу зазвичай ліва включна) — коректніше взяти інтервали типу $[7; 26.5), [26.5; 46.5)$ тощо для точності, але в шкільній практиці беруть круглі числа.
Давайте візьмемо інтервали: $[7; 27)$ , $[27; 47)$ , $[47; 67)$ , $[67; 87)$ , $[87; 107]$ .
- $[7; 27)$ : 7, 20, 20, 21, 24 (5 штук). Примітка: число 27 вже в наступному.
- $[27; 47)$ : 27, 39, 40, 42, 44, 45, 46 (7 штук).
- $[47; 67)$ : 49, 58, 62, 63, 65, 66, 68 (7 штук).
- $[67; 87)$ : 70, 72, 76, 76, 78, 81 (6 штук).
- $[87; 107]$ : 87, 93, 99, 104 (4 штуки).
Перевірка суми: $5 + 7 + 7 + 6 + 4 = 29$ . Умовою сказано 30 магазинів. Перепроверимо числа: 42, 24, 49, 76, 45, 27, 39, 21, 58, 40, 28, 78, 44, 66, 20, 62, 70, 81, 7, 68, 99, 76, 63, 87, 65, 104, 46, 20, 72, 93.
Числа: 7, 20, 20, 21, 24 (5).
27, 28, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 49 (9). Тут я помилився в грубій оцінці. Давайте перерахуємо уважніше з інтервалами $[7; 27), [27; 47), [47; 67), [67; 87), [87; 107]$ .
- $[7; 27)$ : 7, 20, 20, 21, 24 (5).
- $[27; 47)$ : 27, 28, 39, 40, 42, 44, 45, 46 (8).
- $[47; 67)$ : 49, 58, 62, 63, 65, 66, 68 (7).
- $[67; 87)$ : 70, 72, 76, 76, 78, 81 (6).
- $[87; 107]$ : 87, 93, 99, 104 (4).
Сума: $5 + 8 + 7 + 6 + 4 = 30$ . Все вірно.
Побудуємо гістограму за цими даними.

Відповідь:

Частотна таблиця на 5 інтервалах:
1. $[7; 27)$ — 5 магазинів.
2. $[27; 47)$ — 8 магазинів.
3. $[47; 67)$ — 7 магазинів.
4. $[67; 87)$ — 6 магазинів.
5. $[87; 107]$ — 4 магазини.
Гістограма побудована за цією таблицею (висота прямокутників зростає від першого до другого інтервалу, потім повільно спадає).

Завдання 1109

Опитування про кількість ліжок в оселі

Провести опитування учнів класу, скільки ліжок у їхній оселі. За даними скласти частотну таблицю, побудувати гістограму (наприклад, у Excel) і визначити відносну частоту кожного значення.

Розв’язання

Припустимо, що в класі 25 учнів. Розподілимо відповіді так: 1 ліжко (5 осіб), 2 ліжка (10 осіб), 3 ліжка (8 осіб), 4 ліжка (2 особи).
Обчислимо відносні частоти: для 1 ліжка — $5/25 = 0, 2$ ; для 2 ліжок — $10/25 = 0, 4$ ; для 3 ліжок — $8/25 = 0, 32$ ; для 4 ліжок — $2/25 = 0, 08$ .
Побудуймо частотну таблицю та гістограму (вісь X — кількість ліжок, вісь Y — відносна частота або кількість учнів).

Відповідь:

Частотна таблиця (приклад): 1 ліжко ( $n = 5$ , $f = 0, 2$ ); 2 ліжка ( $n = 10$ , $f = 0, 4$ ); 3 ліжка ( $n = 8$ , $f = 0, 32$ ); 4 ліжка ( $n = 2$ , $f = 0, 08$ ). Гістограма будується за цими даними.

Завдання 1110

Обчислення середнього споживання електроенергії

Скласти таблицю витрат електроенергії родини за рік. Обчислити середнє споживання: а) за місяць; б) за квартал; в) за пору року.

Розв’язання

Візьмемо прикладну таблицю: січень–грудень споживають по 120 кВт·год (для спрощення). Загалом за рік $12 \times 120 = 1440$ кВт·год.
а) Середнє за місяць: $1440/12 = 120$ кВт·год.
б) Середнє за квартал (3 місяці): $(120 \times 3) /3 = 120$ кВт·год.
в) Середнє за пору року (наприклад, зима — 4 місяці по 150, літо — 4 місяці по 90, весна/осінь — 8 місяців по 120): Сума = $600 + 360 + 960 = 1920$ . Середнє за півріччя: $1920/6 = 320$ (це неправильно, треба ділити на кількість місяців у періоді). Правильно: середнє за зиму ( $4 міс \times 150 = 600$ , середнє $= 150$ ), за літо ( $4 міс \times 90 = 360$ , середнє $= 90$ ).

Відповідь:

Прикладні дані: за рік витрати 1440 кВт·год. а) За місяць — 120 кВт·год; б) За квартал — 120 кВт·год (якщо витрати рівномірні); в) Середнє за пору року залежить від конкретних даних, але методика: сума витрат за півріччя ділити на 6 місяців.

Завдання 1111

Розподіл футболок за розмірами

На діаграмі (мал. 20.11) показано відсотки або частки клієнтів за розмірами (XS, S, M, L, XL). Загальна кількість футболок — 1000 штук. Потрібно знайти кількість для кожного розміру.

Розв’язання

Знайдемо суму частот на діаграмі: $6 + 24 + 63 + 42 + 15 = 150$ .
Знайдемо коефіцієнт масштабу: $k = 1000/150 = 20/3 \approx 6, 67$ .
Обчислимо кількість для кожного розміру:
- XS: $6 \times (20/3) = 40$ шт.
- S: $24 \times (20/3) = 160$ шт.
- M: $63 \times (20/3) = 420$ шт.
- L: $42 \times (20/3) = 280$ шт.
- XL: $15 \times (20/3) = 100$ шт.

Відповідь:

XS — 40, S — 160, M — 420, L — 280, XL — 100 штук.

Завдання 1112

Розв'язання нерівностей

а) $2 (3 x - 1) + 4 (x + 3) > 1 + 5 x$ ;
б) $x^{2} + 8 x < 0$ ;
в) $x^{2} - 4 < 0$ .

Розв’язання

Пункт а: Розкриваємо дужки: $6 x - 2 + 4 x + 12 > 1 + 5 x$ . Зводимо подібні доданки: $10 x + 10 > 5 x + 1$ . Переносимо змінні вліво, числа вправо: $10 x - 5 x > 1 - 10$ , отже $5 x > - 9$ . Ділимо на 5: $x > - 1, 8$ .
Пункт б: Розглядаємо квадратне рівняння $x^{2} + 8 x = 0$ . Виносимо $x$ за дужки: $x (x + 8) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями: $- 8 < x < 0$ .
Пункт в: Розглядаємо рівняння $x^{2} - 4 = 0$ , тобто $(x - 2) (x + 2) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ . Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями: $- 2 < x < 2$ .

Відповідь:

а) $x > - 1, 8$ ;
б) $- 8 < x < 0$ ;
в) $- 2 < x < 2$ .