Сторінки 15–20

Розв’язання

1. Для транзитивності: якщо $a<b$, то $a-b<0$. Якщо $b<c$, то $b-c<0$. Сума $(a-b)+(b-c)=a-c$ також від'ємна, отже $a<c$.

2. Для додавання: якщо $a<b$, то $a-b<0$. Оскільки $(a+c)-(b+c)=a-b$, різниця залишається від'ємною, тому $a+c<b+c$.

Розв’язання

1. Множення: якщо $a<b$ і $c>0$, то $ac<bc$; якщо $c<0$, то $ac>bc$.

2. Почленне додавання: якщо $a<b$ і $c<d$, то $a+c<b+d$.

3. Почленне множення: якщо $a<b,c<d$ і всі числа додатні ($a,b,c,d>0$), то $ac<bd$.

Розв’язання

1. Запишемо умову у вигляді математичних нерівностей: зріст Олі ($О$) менший за зріст Ані ($А$), а зріст Ані менший за зріст Іри ($І$). Отримуємо $О<A$ і $A<I$.

2. Згідно з властивістю транзитивності (або додаючи нерівності почленно, якщо розглядати відхилення від середнього), маємо $О<I$.

Розв’язання

1. а) Оскільки $x<y$ і $y<z$, то згідно з транзитивністю $x<z$.

2. б) Оскільки $x>y$ і $y>z$, то $x>z$.

3. в) Оскільки $x\le a$ і $a\le z$, то $x\le z$.

Розв’язання

1. Нехай маса гирі $G=5$ кг, а маса борошна $B$. За умовою $B<5$.

2. Додамо по 1 кг до обох шальок: нова маса гирі буде $5+1=6$, нова маса борошна — $B+1$.

3. Оскільки ми додавали однакове число (1 кг) до обох частин нерівності $B<5$, напрямок нерівності не зміниться: $(B+1)<(5+1)$.

Розв’язання

1. Нехай $m_1$ — маса пачки гречки, а $m_2$ — маса пачки борошна. За умовою маємо $m_1<m_2$.

2. Оскільки число 3 є додатним ($3>0$), то при множенні нерівності на це число знак нерівності не зміниться: $3\cdot m_1<3\cdot m_2$.

Розв’язання

1. Твердження А: Додали 5 до обох частин — знак не змінився ($a+5<b+5$), це істинно.

2. Твердження Б: Помножили на додатне число 2 — знак не змінився ($2a<2b$), це істинно.

3. Твердження В: Відняли 3 від обох частин — знак має залишитися таким самим, тобто $a-3<b-3$. У твердженні написано протилежне ($>$), отже, це хибно.

4. Твердження Г: Помножили на від'ємне число -5 — знак змінився на протилежний ($-5a>-5b$), це істинно.

Розв’язання

1. Запишемо нерівності для мас динь: $m_1\le 5,5$ і $m_2\le 8,5$.

2. Додамо ці нерівності почленно: $m_1+m_2\le 5,5+8,5$.

3. Обчислимо суму: $5,5+8,5=14$. Отже, загальна маса динь не перевищує $14$ кг.

4. Порівнюємо з міцністю пакета: $14<15$. Оскільки максимальна маса менша за допустиму, дині можна донести.

Розв’язання

1. З малюнка видно, що $a>0$ (додатне число) і $b<0$ (від'ємне число).

2. Для пункту а): розглянемо вираз $a+2b$. Оскільки $b<0$, то $2b<0$. Додавання від'ємного числа до $a$ зменшує його значення, тому $a>a+2b$.

3. Для пункту б): розглянемо вираз $b-2a$. Оскільки $a>0$, то $-2a<0$. Віднімання додатного числа (або додавання від'ємного) до $b$ зменшує його значення, тому $b>b-2a$.

Розв’язання

1. а) Порівнюємо коефіцієнти: $3<3,5$. Оскільки менше число перетворилося на більше без зміни знаку нерівності, множник $n$ має бути додатним.

2. б) Порівнюємо коефіцієнти: $-1,5>-1$. Тут більший від'ємний коефіциєнт ($-1,5$) перетворився на менший ($-1$), тобто знак змінився. Це означає, що множник $n$ є від'ємним.

3. в) Порівнюємо коефіцієнти: $0,2<0$. Менше число перетворилося на від'ємне (більше за модуль), знак змінився. Отже, $n$ є від'ємним.

Розв’язання

1. З умови $b<a<0$ випливає, що $a$ ближче до нуля, ніж $b$, тобто $|a|<|b|$.

2. Знаменник першого дробу $\frac{1}{a}$ має менший модуль ($|a|$), ніж знаменник другого дробу $\frac{1}{b}$ ($|b|$).

3. Оскільки обидва числа від'ємні, дріб з меншим знаменником (за модулем) буде більшим за значення.

Розв’язання

1. Оскільки $x$ і $y$ від'ємні, то дріб $\frac{x}{y}=\frac{|x|}{|y|}$ є додатним числом меншим за 1 (оскільки $|x|<|y|$).

2. Аналогічно, дріб $\frac{y}{x}=\frac{|y|}{|x|}$ є додатним числом більшим за 1 (оскільки $|y|>|x|$).

3. Додатне число менше за одиницю ($\frac{x}{y}$) завжди менше за додатне число більше за одиницю ($\frac{y}{x}$).

Розв’язання

1. Оскільки $a>1$, то вираз $3a$ буде додатним і більшим за $a$. Наприклад, якщо $a=2$, то $3a=6$.

2. Вираз $-a$ буде від'ємним (оскільки $a>0$). При $a=2$ це $-2$.

3. Вираз $1-a$ також буде від'ємним, оскільки від одиниці віднімаємо число більше за 1. При $a=2$ це $-1$.

4. Вираз $1+2a$ буде додатним і більшим за $a$. При $a=2$ це $1+4=5$.

Розв’язання

1. Виберемо прикладне значення $x=-2$, оскільки воно задовольняє умову $x<-1$.

2. Обчислимо значення кожного виразу: $5(-2)=-10$; $5-(-2)=7$; $2+(-2)=0$; $(-2{)}^2=4$.

3. Порівнюємо отримані числа: $-10<0<4<7$. Найбільше значення має вираз $5-x$.

Розв’язання

1. а) Додаємо 5 до обох частин: $12+5<18+5\Rightarrow 17<23$.

2. б) Віднімаємо 77 від обох частин: $12-77<18-77\Rightarrow -65<-59$.

3. в) Множимо на 3 (знак не змінюється): $12\cdot 3<18\cdot 3\Rightarrow 36<54$. Множимо на -5 (знак змінюється): $12\cdot (-5)>18\cdot (-5)\Rightarrow -60>-90$.

4. г) Ділимо на 3 (знак не змінюється): $12:3<18:3\Rightarrow 4<6$. Ділимо на -6 (знак змінюється): $12:(-6)>18:(-6)\Rightarrow -2>-3$.

Розв’язання

1. а) Додаємо $7$ до обох частин: $16+7=23$, $8+7=15$. Порівнюємо: $23>15$.

2. б) Віднімаємо $13$ від обох частин: $16-13=3$, $8-13=-5$. Порівнюємо: $3>-5$.

3. в) Множимо обидві частини на $-3$: $16\cdot (-3)=-48$, $8\cdot (-3)=-24$. Змінюємо знак на протилежний: $-48<-24$.

4. г) Ділимо обидві частини на $4$: $16:4=4$, $8:4=2$. Порівнюємо: $4>2$.

Розв’язання

1. а) Оскільки $a-c>0$, то $a>c$. Оскільки $c-b>0$, то $c>b$. Звідси маємо ланцюжок $a>c>b$, отже, $a>b$.

2. б) Оскільки $b-c<0$, то $b<c$. Оскільки $c-a<0$, то $c<a$. Звідси маємо ланцюжок $b<c<a$, отже, $b<a$.

3. в) Оскільки $a-n\ge 0$, то $a\ge n$. Оскільки $n-b\ge 0$, то $n\ge b$. Звідси маємо ланцюжок $a\ge n\ge b$, отже, $a\ge b$.

Розв’язання

1. а) З $a-x\le 0$ маємо $a\le x$. З $x-b\le 0$ маємо $x\le b$. Отже, $a\le x\le b$, що означає $a\le b$.

2. б) З $a-m>0$ маємо $a>m$. З $m-b>0$ маємо $m>b$. Отже, $a>m>b$, що означає $a>b$.

3. в) З $a-c>0$ маємо $a>c$. З $b-c<0$ маємо $b<c$, тобто $c>b$. Отже, $a>c>b$, що означає $a>b$.

Розв’язання

1. Оскільки $a<c$ і $c<b$ (бо $b>c$), то $a<c<b$. Точка $a$ знаходиться ліворуч від $c$, а точка $c$ — ліворуч від $b$.

2. Також дано, що $d>b$, отже точка $d$ знаходиться праворуч від точки $b$.

3. Об'єднаємо ланцюжки: $a<c<b<d$. Точка $a$ — найлівоша, потім $c$, далі $b$, і справа $d$.

Розв’язання

1. Маємо $b<a$ (бо $a>b$) і $d<a$. Також $b<d$ (бо $d>b$). Звідси отримуємо ланцюжок $b<d<a$.

2. Порівняємо $c$ з іншими числами: $c>a$ (бо $a<c$). Отже, $c$ є найбільшим числом серед усіх.

3. Об'єднаємо всі нерівності в один ланцюжок: $b<d<a<c$.

Розв’язання

1. Перетворимо число $a$: $a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$.

2. Число $b$ запишемо як корінь: $b=7=\sqrt{49}$.

3. Число $c$ вже є коренем: $c=\sqrt{51}$.

4. Порівнюємо підкореневі вирази: $49<50<51$. Отже, $\sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{51}$, що означає $b<a<c$.

Розв’язання

1. а) Множимо обидві частини $a>b$ на додатне число 2, знак не змінюється: $2a>2b$.

2. б) Множимо обидві частини $a>b$ на від'ємне число $-1$, знак змінюється на протилежний: $-a<-b$.

3. в) Віднімаємо від обох частин $a>b$ число 7, знак не змінюється: $a-7>b-7$.

4. г) Множимо обидві частини $a>b$ на додатне число $\frac{1}{2}$, знак не змінюється: $\frac{1}{2}a>\frac{1}{2}b$.

Розв’язання

1. а) Множимо на додатне число 1,5, знак не змінюється: $1,5a<1,5b$.

2. б) Множимо на від'ємне число -3, знак змінюється на протилежний: $-3a>-3b$.

3. в) Додаємо до обох частин одне й те саме число (7), знак не змінюється: $-a+7<-b+7$.

4. г) Оскільки $a<b$ і обидва числа, ймовірно, додатні (або навіть якщо від'ємні, але функція $x^3$ зберігає порядок), то $a^3<b^3$. Множимо на додатне число 2: $2a^3<2b^3$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $2a<3a$. Коефіцієнт $2$ менший за $3$, і знак нерівності ($<$) відповідає цьому співвідношенню, отже $a$ має бути додатним. Перевіримо: якщо $a>0$, то $2\cdot (\text{додатне})<3\cdot (\text{те саме додатне})$.

2. Для пункту б): $0,5a>a$. Коефіцієнт $0,5$ менший за $1$, але знак нерівності ($>$) протилежний очікуваному для додатного числа. Отже, $a$ має бути від'ємним (при множенні на від'ємне число порядок змінюється).

3. Для пункту в): $-5a<-4a$. Коефіцієнт $-5$ менший за $-4$, і знак ($<$) відповідає цьому порядку, тому множник $a$ додатний.

Розв’язання

1. Варіант А: множення на $-2$ (від'ємне) має змінити знак на $>$, але тут стоїть $<$ — неправильно.

2. Варіант Б: множення на $\sqrt{2}$ (додатне) має зберегти знак $<$, але тут стоїть $>$ — неправильно.

3. Варіант В: ділення на $3$ (додатне) має зберегти знак $<$, але тут стоїть $>$ — неправильно.

4. Варіант Г: віднімання $4$ не змінює знак, отже має бути $a-4<b-4$, а не $>$ — неправильно.

5. Варіант Д: віднімаємо $a$ і $b$ від $0,5$. Оскільки $a<b$, то при відніманні більшого числа результат буде меншим: $0,5-a>0,5-b$. Це правильно.

Розв’язання

1. Пункт а): $5+7<12+8\Rightarrow 12<20$.

2. Пункт б): $6+(-5)>2+(-7)\Rightarrow 1>-5$.

3. Пункт в): $5+x<6+z\Rightarrow 5+x<6+z$ (або просто $x-z<1$, якщо перенести числа, але краще залишити у вигляді суми).

Розв’язання

1. Для пункту а): $15+6>7+4\Rightarrow 21>11$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $3+(-3)<6+(-2)\Rightarrow 0<4$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $52+x>36+y\Rightarrow 16+x>y$. Оскільки $x>y$, то $16+x$ точно більше за $y$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $2\cdot 5<3\cdot 8\Rightarrow 10<24$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}<\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\Rightarrow \frac{2}{20}<\frac{3}{15}\Rightarrow 0,1<0,2$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $-6\cdot (-3)>-8\cdot (-5)\Rightarrow 18>40$. Це хибна нерівність! Помилка в умові або розумінні: якщо перемножити дві правильні нерівності з від'ємними числами, знак може змінитися. Перевіримо: $-6<-8$ (хибно). Умова $-6>-8$ вірна. Але при множенні двох від'ємних чисел отримуємо додатне. Порівняємо добутки: $18$ і $40$. Оскільки $18<40$, то нерівність $-6\cdot (-3)>-8\cdot (-5)$ не виконується ($18\ngtr 40$).

Розв’язання

1. Для пункту а): $7\cdot 6>5\cdot 3\Rightarrow 42>15$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $5\cdot \frac{1}{7}<7\cdot \frac{1}{5}\Rightarrow \frac{5}{7}<\frac{7}{5}\Rightarrow 0,\mathrm{71...}<1,4$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $-4\cdot (-5)<-1\cdot (-4)\Rightarrow 20<4$. Це хибна нерівність ($20$ не менше за $4$). Отже, почленно перемножені числа дають неправильну нерівність.

Розв’язання

1. Склади дві прості нерівності з додатними числами, наприклад: $2<3$ і $4<5$. Перемнож їх: $2\cdot 4=8$ і $3\cdot 5=15$, отже $8<15$.

2. Склади нерівності з від'ємними числами, наприклад: $-2<-1$ і $-4<-3$. Перемнож їх: $(-2)\cdot (-4)=8$ і $(-1)\cdot (-3)=3$, але $8>3$, тому знак змінився.

3. Обговоріть у парах, як правильно записувати нерівності для множення, щоб результат був правильним.

Розв’язання

1. Запишемо умову: $a<b$ і $c>0$.

2. Оскільки знаменник $a$ менший за $b$, то дріб $\frac{c}{a}$ буде більшим за дріб $\frac{c}{b}$.

3. Отже, $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$.

Розв’язання

1. Задача 1 (додавання): У магазині акція — кожна пачка солі коштує 5 грн, а цукру — 8 грн. Якщо до ціни солі додати 3 грн, чи буде вона дорожчою за цукор? ($5+3<8$).

2. Задача 2 (множення): У першій коробці 10 кульок, у другій — 6. Якщо взяти половину кульок з кожної коробки, яка коробка матиме більше кульок? ($\frac{10}{2}>\frac{6}{2}$).

3. Задача 3 (віднімання): У першій скриньці 20 грн, у другій — 15. Якщо витратити по 7 грн з кожної, яка сума залишиться більшою? ($20-7>15-7$).

Розв’язання

1. а) Додаємо 7 до обох частин $m<n$, отже $m+7<n+7$.

2. б) Множимо на $-0,1$ (від'ємне), знак змінюється: $-0,1m>-0,1n$.

3. в) $\sqrt{(-1{)}^{2}m}=\sqrt{m}$ і $\sqrt{(-1{)}^{2}n}=\sqrt{n}$. Оскільки $m<n$, то $\sqrt{m}<\sqrt{n}$.

4. г) Віднімаємо $m$ і $n$ від 1: оскільки $m<n$, то $-m>-n$, отже $1-m>1-n$.

5. ґ) Множимо на 5 (додатне): $5m<5n$. Віднімаємо 1: $5m-1<5n-1$.

6. д) Помножимо $-2n$ і $-2m$ на $-1$: $-2n>-2m$. Додамо $-1$: $-2n-1>-1-2m$.

Розв’язання

1. а) Функція кореня зростає на $[0;\infty )$, отже $\sqrt{x}>\sqrt{y}$.

2. б) Оскільки $x>y>0$, то $x^2>xy$ (бо $x>y$).

3. в) Коефіцієнт $(1-\sqrt{2})$ від'ємний ($\approx -0,41$), тому знак змінюється: $(1-\sqrt{2})x<(1-\sqrt{2})y$.

4. г) Ділимо $y$ на $x$ (додатні числа). Оскільки $x>y$, то $\frac{y}{x}<1$.

5. ґ) При діленні додатних чисел, чим більший знаменник, тим менше дріб. $x>y\Rightarrow \frac{1}{x}<\frac{1}{y}$.

6. д) Знаменники $y-x$ від'ємні (бо $x>y$). Чисельники: $x^{2}y>x{y}^2$ (оскільки $x>y$). Отже, $\frac{\text{більше}}{\text{від’ємне}}<\frac{\text{менше}}{\text{від’ємне}}$.

Розв’язання

1. а) $x<y<0\Rightarrow x^3<0$ і $y^2>0$. Але тут порівнюємо $x^3$ і $y^2$. Оскільки $|x|<|y|$ (наприклад, $-2<-1$), то $x^3=-8$, $y^2=1$. Отже $x^3<y^2$.

2. б) $-x>0$ і $10y<0$. Тут порівнюємо від'ємне число $-x$ (яке більше за модулем, ніж $y$?) Ні, $-x>-y>0$. Але $10y$ від'ємне. Порівняння складне без конкретних чисел, але загалом $-x>0>10y$, отже $-x>10y$.

3. в) $\sqrt{-x}$ і $\sqrt{-y}$. Оскільки $x<y<0$, то $-x>-y>0$. Корінь з більшого числа більший: $\sqrt{-x}>\sqrt{-y}$.

4. г) $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. $x^2$ і $y^2$ додатні. Оскільки $|x|<|y|$, то $x^2<y^2$. Але тут порівнюємо $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. Припустимо $x=-2,y=-1$: $\frac{1}{4}<-1$ — неможливо. Тут треба порівнювати $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y^2}$? Ні, умовою є $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. Оскільки $y$ від'ємне, $\frac{1}{y}$ від'ємне, а $\frac{1}{x^2}$ додатне. Отже $\frac{1}{x^2}>\frac{1}{y}$.

5. ґ) $\frac{x}{x-y}$ і $\frac{y}{x-y}$. Знаменник $x-y$ від'ємний (бо $x<y$). Чисельники: $x<y$. Ділимо на від'ємне число, знак змінюється: $\frac{x}{x-y}>\frac{y}{x-y}$.

6. д) $\frac{x+1}{xy}$ і $\frac{y+1}{xy}$. Знаменник $xy$ додатний (від'ємне $\times$ від'ємне). Чисельники: $x<y\Rightarrow x+1<y+1$. Ділимо на додатне число, знак не змінюється: $\frac{x+1}{xy}<\frac{y+1}{xy}$.

Розв’язання

1. Перетворимо друге умовне нерівність $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0$, що дає $\frac{y-x}{xy}>0$.

2. Оскільки $x>y$, то різниця $y-x$ є від'ємною ($y-x<0$).

3. Щоб дріб $\frac{y-x}{xy}$ був додатним при від'ємному чисельнику, знаменник $xy$ також має бути від'ємним ($xy<0$).

4. Це означає, що числа $x$ і $y$ мають різні знаки. Оскільки $x>y$, то більше число $x$ має бути додатним, а менше $y$ — від'ємним.

Розв’язання

1. Маємо умову $a<b$.

2. Поділимо обидві частини цієї нерівності на число $ab$.

3. Оскільки $ab<0$, знак нерівності змінюється на протилежний: $\frac{a}{ab}>\frac{b}{ab}$.

4. Скорочуючи дріби, отримуємо $\frac{1}{b}>\frac{1}{a}$, що еквівалентно $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

Розв’язання

1. За умовою маємо $a<c$.

2. Також дано $d>c$, отже $c<d$.

3. Звідси отримуємо ланцюжок нерівностей для знаменників: $a<c<d<b$.

4. Оскільки всі числа додатні, порядок дробів буде протилежним порядку знаменників: $\frac{1}{b}<\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}$.

Розв’язання

1. Запишемо умови для знаменників у ланцюжок нерівностей: $a>c$, $d<c$ (тобто $c>d$) і $d>b$. Отже, маємо послідовність $a>c>d>b$.

2. Оскільки всі дроби від'ємні ($\frac{1}{x}<0$), то знаменники також від'ємні ($a,b,c,d<0$). При порівнянні від'ємних чисел з однаковим знаком у чисельнику (1) більший дріб відповідає меншому за модулем знаменнику.

3. Порівняємо значення знаменників: $|a|$ найменше, $|b|$ найбільше (оскільки $b$ від'ємне і має найменше значення). Отже, $\frac{1}{a}$ буде найбільшим дробом, а $\frac{1}{b}$ — найменшим.

4. Впорядкуємо дроби від найменшого до найбільшого: $\frac{1}{b}<\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}$.

Розв’язання

1. Додавання (умова 1): $-18+(-12)<15+(-9)$, тобто $-30<6$. Це відповідає варіанту В.

2. Ділення на $-3$ (умова 2): $\frac{-18}{-3}>\frac{15}{-3}$ (знак змінився), отже $6>-5$. Це відповідає варіанту Д.

3. Множення на $\frac{2}{3}$ (умова 3): $-18\cdot \frac{2}{3}<15\cdot \frac{2}{3}$, тобто $-12<10$. Це відповідає варіанту А.

Розв’язання

1. Пункт а): Оскільки $a$ менше або дорівнює $b$, а $b$ менше або дорівнює $c$, то ланцюжок передається, і $a\le c$. Це властивість транзитивності відношення «менше або дорівнює».

2. Пункт б): Множимо нерівність $a\le b$ на додатне число $c$. Оскільки множник додатний, знак нерівності зберігається: $ac\le bc$.

3. Пункт в): Множимо нерівність $a\le b$ на від'ємне число $c$. При множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний ($\le$ стає $\ge$), отже $ac\ge bc$.

Розв’язання

1. Розглянемо випадок а). Оскільки $a>0$ і $b>0$, функція $y=x^2$ зростає на проміжку $(0;+\infty )$. Тому з $a<b$ дійсно випливає $a^2<b^2$. Твердження правильне.

2. Розглянемо випадок б). Оскільки $a>0$ і $b>0$, функція $y=x^2$ є бієктивною на цьому проміжку. Отже, з $a^2<b^2$ випливає $a<b$. Твердження правильне.

3. Розглянемо випадок в). Функція $y=\sqrt{x}$ зростає на всій області визначення $[0;+\infty )$. Тому з $a<b$ випливає $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. Твердження правильне.

4. Розглянемо випадок г). Оскільки функція $y=x^2$ є оберненою до $y=\sqrt{x}$, то з нерівності для аргументів кореня випливає нерівність самих чисел під коренем: з $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ випливає $a<b$. Твердження правильне.

Розв’язання

1. Запишемо тотожність: $x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.

2. Розглянемо умову $\sqrt{x}>\sqrt{y}$. Це означає, що різниця першого множника додатна: $(\sqrt{x}-\sqrt{y})>0$.

3. Оскільки $x\ge 0$ і $y\ge 0$, сума коренів завжди невід'ємна. Якщо хоча б одне з чисел додатне, сума додатна; якщо обидва нулі, то $\sqrt{x}=\sqrt{y}$, що суперечить умові. Отже, $(\sqrt{x}+\sqrt{y})>0$.

4. Добуток двох додатних чисел є додатним: $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})>0$. Звідси $x-y>0$, що еквівалентно $x>y$.

Розв’язання

1. Практична частина: Намалюй трапецію $ABCD$ і паралелограм $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Виміряй довжини всіх чотирьох сторін та двох діагоналей для кожної фігури. Склади нерівність: сума периметра проти суми діагоналей. У будь-якому випадку сума чотирьох сторін буде більшою за суму двох діагоналей, оскільки кожна сторона є стороною трикутника, утвореного діагоналлю та іншими сторонами.

2. Доведення пункту а): Розглянь діагональ $AC$ чотирикутника $ABCD$. Вона є спільною стороною для $△ABC$ і $△ADC$. У $△ABC$ маємо $AB+BC>AC$, у $△ADC$ — $AD+DC>AC$. Це не доводить напряму, краще розбити чотирикутник на два трикутники діагоналлю $BD$. Тоді в $△ABD$: $AB+AD>BD$. В $△BCD$: $BC+CD>BD$. Склади нерівності: $(AB+AD)+(BC+CD)>2\cdot BD$, тобто периметр $P>2\cdot BD$. Звідси $BD<P/2$.

3. Доведення пункту б): Розглянь чотирикутник як об'єкт, утворений двома трикутниками $△ABD$ і $△BCD$, що мають спільну сторону $BD$. У $△ABD$: $AB+AD>BD$. У $△BCD$: $BC+CD>BD$. Додамо нерівності почленно: $(AB+AD)+(BC+CD)>BD+BD$. Це означає, що периметр чотирикутника $P=AB+BC+CD+DA$ більший за $2\cdot BD$, тобто $BD<P/2$. Аналогічно для другої діагоналі. Отже, сума діагоналей $AC+BD<(AB+BC+CD+DA)=P$.

Розв’язання

1. Для пункту а): Областю визначення функції $y=\sqrt{x}$ є проміжок $[0;+\infty )$. Візьмемо два довільні числа $x_1,x_2$ такі, що $0\le x_1<x_2$. Оскільки корінь з більшого додатного числа більший за корінь з меншого ($\sqrt{x}$ — зростаюча функція), то $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$. Отже, $y_1<y_2$, що означає, що функція зростає на всій області визначення.

2. Для пункту б): Розглянемо випадок $x>0$. Візьмемо два числа $x_1,x_2$ такі, що $0<x_1<x_2$. Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату (оскільки множник $x^2$ зберігає знак при множенні на додатне число): $x_1^2<x_2^2$. Це означає, що $y_1<y_2$. Отже, функція $y=x^2$ зростає на проміжку $(0;+\infty )$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Візьмемо приклад $a=2$ і $b=-5$. Тут $a>b$ ($2>-5$) виконується. Але $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}=0,5$, а $\frac{1}{b}=-\frac{1}{5}=-0,2$. Оскільки $0,5>-0,2$, то $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, а не менше. Отже, висновок неправильний.

2. Розглянемо пункт б). Візьмемо приклад $a=2$ і $b=5$. Тут $a<b$ ($2<5$) виконується. Але $\left|a\right|=2$, а $\left|b\right|=5$. Оскільки $2<5$, то $\left|a\right|<\left|b\right|$, а не більше. Отже, висновок неправильний.

Розв’язання

1. Для точки $M(3;7)$: Підставимо $x=3$ і $y=7$ у рівняння $y=x^2-3x+n$: $7=3^2-3\cdot 3+n$. Обчислимо: $7=9-9+n$, отже, $7=0+n$, звідки $n=7$.

2. Для точки $K(-2;3)$: Підставимо $x=-2$ і $y=3$ у рівняння $y=x^2-3x+n$: $3=(-2{)}^2-3\cdot (-2)+n$. Обчислимо: $3=4+6+n$, тобто $3=10+n$. Віднімемо 10 від обох частин: $n=3-10$, отже, $n=-7$.

Розв’язання

1. а) Шукаємо корені рівняння $x^2+2x-35=0$. Знаходимо числа, які при множенні дають $-35$, а при додаванні — $2$: це $7$ і $-5$. Отже, розклад: $(x+5)(x-7)$.

2. б) Для $6x^2-x-1=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-1)=1+24=25$. Корені: $x_1=\frac{1+5}{12}=\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{1-5}{12}=-\frac{1}{3}$. Відповідно множники: $(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})$, або після спрощення на знаменник: $(2x-1)(3x+1)$.

3. в) Для $6a^2+a-2=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=1^2-4\cdot 6\cdot (-2)=1+48=49$. Корені: $a_1=\frac{-1+7}{12}=\frac{1}{2}$, $a_2=\frac{-1-7}{12}=-\frac{2}{3}$. Розклад: $(2a-1)(3a+2)$.

4. г) Для $c^2+\sqrt{2}c-4=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=(\sqrt{2}{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=2+16=18$. Корені: $c_1=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{18}}{2}=\frac{-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$, $c_2=\frac{-\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$. Розклад: $(c-\sqrt{2})(c+2\sqrt{2})$.

Розв’язання

1. Аналізуємо останній рядок ($3,7,\ast ,8,\ast ,\ast ,\ast ,\ast ,5$). Відсутні числа: $1,2,4,6,9$. Перевіряємо стовпці та блоки для визначення місця кожного.

2. Заповнюємо таблицю крок за кроком, виключаючи цифри, які вже є в рядку або стовпці. Наприклад, у першій клітинці останнього рядка не може бути $3$ (є в рядку), $7$, $8$, $5$.

3. Після логічного заповнення всіх пропусків отримуємо повну таблицю судоку.