Завдання 2, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 2

Спрощення суми за допомогою методу розбиття на доданки

Спростити вираз $\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \dots + \frac{1}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 3 )}$ .

Розв’язання

Запишемо загальний член як різницю: $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ .
Підставимо це в суму і розкриємо дужки: $\frac{1}{4} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{4 n - 1} - \frac{1}{4 n + 3})]$ .
Скорочуємо проміжні доданки: залишаються лише перший і останній члени в дужках. Отримуємо $\frac{1}{4} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4 n + 3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 n + 3 - 3}{3 ( 4 n + 3 )} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 n}{3 ( 4 n + 3 )}$ .

Відповідь:

$\frac{n}{3 ( 4 n + 3 )}$

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 2 с. 189

Спрощення суми за допомогою методу розбиття на доданки

Умова

Спростити вираз $\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \dots + \frac{1}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 3 )}$ .

Що треба знати

Використовуємо метод розбиття на частини (телескопічна сума). Загальний член $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )}$ можна подати у вигляді різниці $\frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Помножте і поділіть кожний дріб на 4, щоб чисельник став рівним різниці знаменників. Розкрийте дужки та скоротьте однакові доданки.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо загальний член як різницю: $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ .
Підставимо це в суму і розкриємо дужки: $\frac{1}{4} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{4 n - 1} - \frac{1}{4 n + 3})]$ .
Скорочуємо проміжні доданки: залишаються лише перший і останній члени в дужках. Отримуємо $\frac{1}{4} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4 n + 3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 n + 3 - 3}{3 ( 4 n + 3 )} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 n}{3 ( 4 n + 3 )}$ .

Відповідь:

$\frac{n}{3 ( 4 n + 3 )}$

Розбір зрозумілий?