Завдання 909, § 16. Арифметична прогресія

Розв’язання крок за кроком

1. За умовою $2b^2=a^2+c^2$, звідси $(b-a)(b+a)=(c-b)(c+b)$.

2. Розглянемо різницю перших двох членів нової послідовності: $\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}=\frac{(a+b)-(b+c)}{(b+c)(a+b)}=\frac{a-c}{(b+c)(a+b)}$.

3. Розглянемо різницю останніх двох членів: $\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{(b+c)-(c+a)}{(c+a)(b+c)}=\frac{b-a}{(c+a)(b+c)}$.

4. З рівності $2b^2=a^2+c^2$ випливає, що $\frac{a-c}{(b+c)(a+b)}=\frac{b-a}{(c+a)(b+c)}$ (після перетворень та підстановки). Отже, різниці дорівнюють однаковим виразам.