Завдання 652, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 652

Графічне розв'язання нерівностей

Розв'яжи графічно нерівність: а) $x^{2} < x + 2$ ; б) $(x - 2)^{2} \geq ∣ x ∣$ ; в) $2 x^{2} < 1 + x$ .

Розв’язання

Варіант а): Рівняння $x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0$ , корені $- 1, 2$ . Парабола $y = x^{2}$ менша за пряму $y = x + 2$ між точками перетину. Відповідь: $(- 1; 2)$ .
Варіант б): Розглянемо два випадки для модуля.
- Якщо $x \geq 0$ : $(x - 2)^{2} = x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ , корені $1, 4$ .
- Якщо $x < 0$ : $(x - 2)^{2} = - x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 + x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 4 = 0$ , дискримінант від'ємний, перетинів немає.
Порівняємо графи: парабола $y = (x - 2)^{2}$ і пряма $y = x$ (для $x \geq 0$ ). При $x = 0$ : $4 \geq 0$ (так). Між $1$ і $4$ парабола нижча за пряму ( $4 \geq 1$ — ні, $1 \geq 1$ так, але треба перевірити значення).
Перевіримо: при $x = 2$ , ліва частина $0$ , права $2$ . $0 \geq 2$ — ні. Отже, між коренями нерівність не виконується. Зовні коренів ( $[0; 1]$ і $[4; \infty)$ ) парабола вища.

Відповідь:

$[0; 1] \cup [4; \infty)$ . (З урахуванням $x < 0$ , де нерівність завжди виконується, бо $(x - 2)^{2} > 0$ і $∣ x ∣ > 0$ , але парабола швидше росте? При $x = - 1$ : $9 \geq 1$ — так. Тобто для $x < 0$ також підходить).

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 652 с. 129

Графічне розв'язання нерівностей

Умова

Розв'яжи графічно нерівність: а) $x^{2} < x + 2$ ; б) $(x - 2)^{2} \geq ∣ x ∣$ ; в) $2 x^{2} < 1 + x$ .

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність графічно, потрібно побудувати графи функцій, що стоять по обидва боки знака нерівності. Для а) — парабола та пряма; для б) — парабола та модуль; для в) — парабола та корінь. Розв'язком є проміжки осі $O x$ , де графік однієї функції лежить нижче іншої (для знаків $<$ ) або вище/на рівні (для $\geq$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Побудуй графи функцій. Знайди точки перетину графіків (це корені відповідних рівнянь). Визнач проміжки, де виконується нерівність. Для б) розгляни випадки $x \geq 0$ та $x < 0$ .

Розв’язання крок за кроком

Варіант а): Рівняння $x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0$ , корені $- 1, 2$ . Парабола $y = x^{2}$ менша за пряму $y = x + 2$ між точками перетину. Відповідь: $(- 1; 2)$ .
Варіант б): Розглянемо два випадки для модуля.
- Якщо $x \geq 0$ : $(x - 2)^{2} = x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ , корені $1, 4$ .
- Якщо $x < 0$ : $(x - 2)^{2} = - x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 + x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 4 = 0$ , дискримінант від'ємний, перетинів немає.
Порівняємо графи: парабола $y = (x - 2)^{2}$ і пряма $y = x$ (для $x \geq 0$ ). При $x = 0$ : $4 \geq 0$ (так). Між $1$ і $4$ парабола нижча за пряму ( $4 \geq 1$ — ні, $1 \geq 1$ так, але треба перевірити значення).
Перевіримо: при $x = 2$ , ліва частина $0$ , права $2$ . $0 \geq 2$ — ні. Отже, між коренями нерівність не виконується. Зовні коренів ( $[0; 1]$ і $[4; \infty)$ ) парабола вища.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?