Завдання 649, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 649

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 6 \leq 0 x \geq a$ ; б) ${x^{2} - 2 x - 8 > 0 x > a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 6 \leq 0$ . Корені: $(x + 3) (x - 2) = 0$ , корені $- 3$ і $2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $- 3 \leq x \leq 2$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Перетин множин $[- 3; 2]$ та $[a; + \infty)$ .
Якщо $a > 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути $\leq 2$ і $\geq a > 2$ ).
Якщо $- 3 \leq a \leq 2$ , то нижня межа визначається $a$ , отже $a \leq x \leq 2$ .
Якщо $a < - 3$ , то нижня межа визначається $- 3$ , отже $- 3 \leq x \leq 2$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 2 x - 8 > 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 2) = 0$ , корені $- 2$ і $4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $x < - 2$ або $x > 4$ .
Друга нерівність системи: $x > a$ . Перетин множин $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ та $(a; + \infty)$ .
Якщо $a < - 2$ , то перетин: $(- 2; + \infty)$ ? Ні, уважно. Множина $x < - 2$ перетинається з $x > a$ . Якщо $a < - 2$ , то частина $(- 2; + \infty)$ повністю входить, а частина $(- \infty; - 2)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; - 2)$ . Отже, $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ .
Якщо $- 2 \leq a < 4$ , то частина $(- \infty; - 2)$ не перетинається з $(a; + \infty)$ (бо $a \geq - 2$ ), залишається тільки $(4; + \infty)$ .
Якщо $a \geq 4$ , то частина $(4; + \infty)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; + \infty)$ .

Відповідь:

а) при $a > 2$ — розв'язків немає; при $- 3 \leq a \leq 2$ — $x \in [a; 2]$ ; при $a < - 3$ — $x \in [- 3; 2]$ . б) при $a < - 2$ — $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; при $- 2 \leq a < 4$ — $x \in (4; + \infty)$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (a; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 649 с. 129

Система нерівностей з параметром

Умова

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 6 \leq 0 x \geq a$ ; б) ${x^{2} - 2 x - 8 > 0 x > a$ .

Що треба знати

Аналогічно попередньому завданню. Розв'язуємо квадратні нерівності, знаходимо корені, визначаємо пром'яжки або об'єднання пром'яжків, а потім знаходимо перетин з умовою, що містить параметр $a$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди корені для $x^{2} + x - 6 = 0$ та $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ . Визнач пром'яжки розв'язків. Порівняй ці пром'яжки з умовою $x \geq a$ або $x > a$ .

Розв’язання крок за кроком

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 6 \leq 0$ . Корені: $(x + 3) (x - 2) = 0$ , корені $- 3$ і $2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $- 3 \leq x \leq 2$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Перетин множин $[- 3; 2]$ та $[a; + \infty)$ .
Якщо $a > 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути $\leq 2$ і $\geq a > 2$ ).
Якщо $- 3 \leq a \leq 2$ , то нижня межа визначається $a$ , отже $a \leq x \leq 2$ .
Якщо $a < - 3$ , то нижня межа визначається $- 3$ , отже $- 3 \leq x \leq 2$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 2 x - 8 > 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 2) = 0$ , корені $- 2$ і $4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $x < - 2$ або $x > 4$ .
Друга нерівність системи: $x > a$ . Перетин множин $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ та $(a; + \infty)$ .
Якщо $a < - 2$ , то перетин: $(- 2; + \infty)$ ? Ні, уважно. Множина $x < - 2$ перетинається з $x > a$ . Якщо $a < - 2$ , то частина $(- 2; + \infty)$ повністю входить, а частина $(- \infty; - 2)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; - 2)$ . Отже, $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ .
Якщо $- 2 \leq a < 4$ , то частина $(- \infty; - 2)$ не перетинається з $(a; + \infty)$ (бо $a \geq - 2$ ), залишається тільки $(4; + \infty)$ .
Якщо $a \geq 4$ , то частина $(4; + \infty)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; + \infty)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?