Завдання 648, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 648

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 2 < 0 x < a$ ; б) ${x^{2} - 3 x - 4 \geq 0 x \leq a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ : $(x + 2) (x - 1) = 0$ , корені $- 2$ і $1$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $- 2 < x < 1$ .
Друга нерівність системи: $x < a$ . Перетин множин $(- 2; 1)$ та $(- \infty; a)$ .
Якщо $a \leq - 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути більшим за $- 2$ і меншим за $a \leq - 2$ ).
Якщо $- 2 < a \leq 1$ , то верхня межа визначається $a$ , отже $- 2 < x < a$ .
Якщо $a > 1$ , то верхня межа визначається $1$ , отже $- 2 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 1) = 0$ , корені $- 1$ і $4$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок: $x \leq - 1$ або $x \geq 4$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Перетин множин ( $(- \infty; - 1] \cup [4; + \infty)$ ) та $(- \infty; a]$ .
Якщо $a < - 1$ , то перетин: $(- \infty; a]$ .
Якщо $a = - 1$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $- 1 < a < 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $a \geq 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Відповідь:

а) при $a \leq - 2$ — розв'язків немає; при $- 2 < a \leq 1$ — $x \in (- 2; a)$ ; при $a > 1$ — $x \in (- 2; 1)$ . б) при $a < 4$ — $x \in (- \infty; - 1]$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 648 с. 129

Система нерівностей з параметром

Умова

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 2 < 0 x < a$ ; б) ${x^{2} - 3 x - 4 \geq 0 x \leq a$ .

Що треба знати

Спочатку розв'яжемо кожну нерівність системи окремо, знайдемо їхні розв'язки на числовій прямій. Потім знайдемо перетин цих множин з умовою $x < a$ або $x \leq a$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розклади квадратні тричлени на множники, знайди корені та пром'яжки. Порівняй праву межу першого розв'язку з параметром $a$ .

Розв’язання крок за кроком

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ : $(x + 2) (x - 1) = 0$ , корені $- 2$ і $1$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $- 2 < x < 1$ .
Друга нерівність системи: $x < a$ . Перетин множин $(- 2; 1)$ та $(- \infty; a)$ .
Якщо $a \leq - 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути більшим за $- 2$ і меншим за $a \leq - 2$ ).
Якщо $- 2 < a \leq 1$ , то верхня межа визначається $a$ , отже $- 2 < x < a$ .
Якщо $a > 1$ , то верхня межа визначається $1$ , отже $- 2 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 1) = 0$ , корені $- 1$ і $4$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок: $x \leq - 1$ або $x \geq 4$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Перетин множин ( $(- \infty; - 1] \cup [4; + \infty)$ ) та $(- \infty; a]$ .
Якщо $a < - 1$ , то перетин: $(- \infty; a]$ .
Якщо $a = - 1$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $- 1 < a < 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $a \geq 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?