Завдання 647, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 647

Параметричні нерівності

Знайти всі $m$ , при яких нерівність виконується для будь-якого дійсного $x$ : а) $x^{2} - m x + 4 > 0$ ; б) $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ ; в) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ .

Розв’язання

а) Нерівність $x^{2} - m x + 4 > 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , тому парабола відкрита вгору. Потрібно, щоб дискримінант був від'ємним: $D = (- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$ .
Обчислимо дискримінант: $m^{2} - 16 < 0$ , звідки $- 4 < m < 4$ .
б) Нерівність $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ . Дискримінант: $D = (- 6 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m \leq 0$ .
Спростимо нерівність для $m$ : $36 m^{2} - 4 m \leq 0$ , поділимо на 4: $9 m^{2} - m \leq 0$ , звідки $m (9 m - 1) \leq 0$ .
Розв'яжемо нерівність для $m$ : корені $0$ і $1/9$ , отже $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ .
в) Нерівність $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Якщо $m = 0$ , отримуємо $- 4 x + 3 < 0$ , що не виконується для всіх $x$ . Отже, $m \neq = 0$ . Оскільки нерівність сустрога ( $<$ ), парабола має бути повністю нижче осі $O x$ , тому $m < 0$ і дискримінант від'ємний: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) < 0$ .
Спростимо умову для $D$ : $16 - 4 m^{2} - 12 m < 0$ , поділимо на 4: $4 - m^{2} - 3 m < 0$ , або $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ .
Знайдемо корені для $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ : $(m + 4) (m - 1) = 0$ , корені $- 4$ і $1$ . Нерівність виконується при $m < - 4$ або $m > 1$ .
Об'єднаємо умови: $m < 0$ та ( $m < - 4$ або $m > 1$ ). Перетин множин: $m < - 4$ або $m > 1$ .

Відповідь:

а) $- 4 < m < 4$ ; б) $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ ; в) $m < - 4$ або $m > 1$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 647 с. 129

Параметричні нерівності

Умова

Що треба знати

Для квадратної нерівності $a x^{2} + b x + c > 0$ , щоб виконувалася для всіх $x$ , потрібно, щоб парабола була розташована вище осі $O x$ ( $a > 0$ ) і не перетинала її ( $D < 0$ ). Якщо знак $\leq$ або $<$ , то умова $D \leq 0$ (для $\leq$ ) або $D < 0$ (для $<$ ), але треба враховувати випадок лінійної нерівності.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь кожен підпункт окремо. Для а) і б) коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому шукай умову відсутності коренів ( $D < 0$ або $D \leq 0$ ). Для в) коефіцієнт при $x^{2}$ містить параметр — розглянь випадки $m > 0$ , $m = 0$ та $m < 0$ .

Розв’язання крок за кроком

а) Нерівність $x^{2} - m x + 4 > 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , тому парабола відкрита вгору. Потрібно, щоб дискримінант був від'ємним: $D = (- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$ .
Обчислимо дискримінант: $m^{2} - 16 < 0$ , звідки $- 4 < m < 4$ .
б) Нерівність $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ . Дискримінант: $D = (- 6 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m \leq 0$ .
Спростимо нерівність для $m$ : $36 m^{2} - 4 m \leq 0$ , поділимо на 4: $9 m^{2} - m \leq 0$ , звідки $m (9 m - 1) \leq 0$ .
Розв'яжемо нерівність для $m$ : корені $0$ і $1/9$ , отже $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ .
в) Нерівність $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Якщо $m = 0$ , отримуємо $- 4 x + 3 < 0$ , що не виконується для всіх $x$ . Отже, $m \neq = 0$ . Оскільки нерівність сустрога ( $<$ ), парабола має бути повністю нижче осі $O x$ , тому $m < 0$ і дискримінант від'ємний: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) < 0$ .
Спростимо умову для $D$ : $16 - 4 m^{2} - 12 m < 0$ , поділимо на 4: $4 - m^{2} - 3 m < 0$ , або $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ .
Знайдемо корені для $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ : $(m + 4) (m - 1) = 0$ , корені $- 4$ і $1$ . Нерівність виконується при $m < - 4$ або $m > 1$ .
Об'єднаємо умови: $m < 0$ та ( $m < - 4$ або $m > 1$ ). Перетин множин: $m < - 4$ або $m > 1$ .

Відповідь:

а) $- 4 < m < 4$ ; б) $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ ; в) $m < - 4$ або $m > 1$ .

Розбір зрозумілий?