Завдання 646, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 646

Нерівність без розв'язків

Знайти значення параметра $b$ , при яких нерівності не мають розв'язків:
а) $x^{2} + 2 b x + 1 < 0$ ;
б) $b x^{2} + 6 b x + 1 ⩽ 0$ ;
в) $(b - 1) x^{2} - 2 b x + 3 b - 3 > 0$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , парабола розкривається вгору. Щоб $x^{2} + 2 b x + 1 < 0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю над віссю $O x$ . Це можливо лише якщо дискримінант від'ємний: $D = (2 b)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 b^{2} - 4 < 0$ .
б) Нерівність $⩽ 0$ означає, що графік має бути нижче або на осі $O x$ . Якщо коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $b > 0$ ), парабола розкривається вгору і не може бути повністю нижче осі. Якщо $b < 0$ , парабола розкривається вниз, але тоді вона завжди має точки нижче осі (має розв'язки). Якщо $b = 0$ , отримуємо лінійну функцію $6 x + 1 ⩽ 0$ , яка має розв'язки. Отже, для існування нерівності без розв'язків потрібна специфічна ситуація з коефіцієнтом при $x^{2}$ . Але якщо $b = 0$ , це лінійна функція, яка завжди перетинає вісь. Якщо $b \neq = 0$ , то парабола. Якщо $b < 0$ ( $a < 0$ ), парабола розкривається вниз і має максимум. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (що суперечить $a < 0$ ). Якщо $b > 0$ ( $a > 0$ ), парабола розкривається вгору і має мінімум. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (мінімум > 0).
в) Нерівність $> 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ — $(b - 1)$ . Якщо $b = 1$ , це лінійна функція $- 2 x + 0 > 0$ , яка має розв'язки. Якщо $b \neq = 1$ , це парабола. Щоб $y > 0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю під віссю $O x$ . Це можливо лише якщо парабола розкривається вниз ( $b - 1 < 0$ ) і дискримінант від'ємний (не перетинає вісь).

Відповідь:

а) $- 1 < b < 1$ ;
б) $b > - \frac{1}{6}$ (при умові, що парабола розкривається вгору і знаходиться вище осі, але тут треба перевірити межі. Якщо $b > 0$ , то мінімум має бути додатним. $D < 0 \Rightarrow 36 b^{2} - 4 < 0 \Rightarrow b^{2} < 1/9 \Rightarrow - 1/3 < b < 1/3$ . Перетин з умовою $b > 0$ : $0 < b < 1/3$ . Якщо $b = 0$ , то $6 x + 1 \leq 0$ має розв'язки. Отже, $b \in (0; 1/3)$ ).
Уточнення для б): Якщо $b > 0$ , парабола вгору. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб мінімум був додатним ( $D < 0$ ). $D = 36 b^{2} - 4 < 0 \Rightarrow b^{2} < 1/9 \Rightarrow ∣ b ∣ < 1/3$ . Оскільки $b > 0$ , то $0 < b < 1/3$ .
в) $b < 1$ і $D < 0$ . $D = (- 2 b)^{2} - 4 (b - 1) (3 b - 3) = 4 b^{2} - 4 (3 b^{2} - 3 b - 3 b + 3) = 4 b^{2} - 12 b^{2} + 24 b - 12 = - 8 b^{2} + 24 b - 12$ . $- 8 b^{2} + 24 b - 12 < 0 \Rightarrow 2 b^{2} - 6 b + 3 > 0$ . Корені $D = 0$ : $b = \frac{6 \pm 36 - 24}{4} = \frac{6 \pm 12}{4} = \frac{3 \pm 3}{2}$ . Оскільки парабола відкривається вниз ( $b < 1$ ), то $D < 0$ виконується при $b < \frac{3 - 3}{2}$ або $b > \frac{3 + 3}{2}$ . Але ми маємо умову $b < 1$ . $\frac{3 + 3}{2} \approx 2.36$ , $\frac{3 - 3}{2} \approx 0.63$ . Отже, при $b < 1$ умова $D < 0$ виконується для $b < \frac{3 - 3}{2}$ та $b > \frac{3 + 3}{2}$ . Але ми обмежені $b < 1$ , тому беремо $b < \frac{3 - 3}{2}$ .

Розбір зрозумілий?