Завдання 643, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 643

Нерівність з модулем (продовження)

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 6∣ x ∣ + 8 \leq 0$ ; б) $3 x^{2} - ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ : $t_{1} = 2, t_{2} = 4$ . Нерівність виконується при $2 \leq t \leq 4$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣$ , маємо $2 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ . Це означає дві частини: $- 4 \leq x \leq - 2$ або $2 \leq x \leq 4$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $3 t^{2} - t - 4 > 0$ . Корені рівняння $3 t^{2} - t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 4/3$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 4/3$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 4/3$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 4/3$ , що означає $x < - 4/3$ або $x > 4/3$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 4; - 2] \cup [2; 4]$ ; б) $x \in (- \infty; - 4/3) \cup (4/3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 643 с. 128

Нерівність з модулем (продовження)

Умова

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 6∣ x ∣ + 8 \leq 0$ ; б) $3 x^{2} - ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Що треба знати

Використовуємо ту ж саму заміну $t = ∣ x ∣$ ( $t \geq 0$ ). Розв'язуємо отримані квадратні нерівності відносно $t$ , обираємо допустимі значення $t \geq 0$ і переходимо до $x$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди корені квадратних тричленів після заміни, визнач проміжки для $t$ , а потім запиши відповідь через $x$ . Не забудь перевірити умову $t \geq 0$ .

Розв’язання крок за кроком

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ : $t_{1} = 2, t_{2} = 4$ . Нерівність виконується при $2 \leq t \leq 4$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣$ , маємо $2 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ . Це означає дві частини: $- 4 \leq x \leq - 2$ або $2 \leq x \leq 4$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $3 t^{2} - t - 4 > 0$ . Корені рівняння $3 t^{2} - t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 4/3$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 4/3$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 4/3$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 4/3$ , що означає $x < - 4/3$ або $x > 4/3$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 4; - 2] \cup [2; 4]$ ; б) $x \in (- \infty; - 4/3) \cup (4/3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?