Знайти, для якої з наведених функцій область визначення дорівнює R (всі дійсні числа). Варіанти: А) y=−x+1; Б) y=x2−12; В) y=x2+13x; Г) y=x2−1x.
Розв’язання
Функція А містить корінь x+1. Щоб він існував, має виконуватися x+1≥0, тобто x≥−1. Область визначення не дорівнює R.
Функція Б — це дріб зі знаменником x2−1. Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x2−1=0, звідки x=1 і x=−1. Область визначення не є R.
Функція Г містить корінь x (вимагає x≥0) та знаменник x2−1 (не може бути нулем). Область визначення обмежена знизу і має «дірки». Не є R.
Функція В — дріб зі знаменником x2+1. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то x2≥0, отже x2+1≥1>0. Знаменник ніколи не дорівнює нулю. Кореня немає, обмежень на x немає. Область визначення — R.
Відповідь:
В
Розбір зрозумілий?
§ 10. Перетворення графіків функційЗавдання 1 (с. 108)с. 108
Область визначення функцій
Умова
Знайти, для якої з наведених функцій область визначення дорівнює R (всі дійсні числа). Варіанти: А) y=−x+1; Б) y=x2−12; В) y=x2+13x; Г) y=x2−1x.
Що треба знати
Область визначення функції — це множина всіх значень аргументу, для яких вираз має сенс. Корінь парного степеня вимагає невід'ємного підкореневих виразу (x≥a), дріб — відмінності знаменника від нуля (b=0).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Проаналізуй обмеження для кожного варіанта окремо. Якщо хоча б одна умова порушується, область визначення не є R.
Розв’язання крок за кроком
Функція А містить корінь x+1. Щоб він існував, має виконуватися x+1≥0, тобто x≥−1. Область визначення не дорівнює R.
Функція Б — це дріб зі знаменником x2−1. Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x2−1=0, звідки x=1 і x=−1. Область визначення не є R.
Функція Г містить корінь x (вимагає x≥0) та знаменник x2−1 (не може бути нулем). Область визначення обмежена знизу і має «дірки». Не є R.
Функція В — дріб зі знаменником x2+1. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то x2≥0, отже x2+1≥1>0. Знаменник ніколи не дорівнює нулю. Кореня немає, обмежень на x немає. Область визначення — R.
