ABCD — квадрат, E на AB, F на AD, G на CD, H на BC, AE = AF = CG = CH. Доведіть, що EFGH — прямокутник.
Розв’язання
△AEF і △CGH рівнобедрені прямокутні: їх гострі кути по 45°.
EB = AB − AE = BC − CH = BH і FD = DG, тож △EBH і △FDG теж рівнобедрені прямокутні з кутами 45°.
∠FEH = 180° − 45° − 45° = 90°; так само всі інші кути EFGH прямі.
Отже, EFGH — прямокутник.
Доведено.
Умова
ABCD — квадрат, E на AB, F на AD, G на CD, H на BC, AE = AF = CG = CH. Доведіть, що EFGH — прямокутник.
Квадрат — прямокутник з рівними сторонами; він водночас і ромб. Усі кути прямі, діагоналі рівні, перпендикулярні, діляться навпіл і ділять кути навпіл (утворюють зі сторонами кути 45°); AO = BO = CO = DO. Чотирикутник з трьома (чи чотирма) прямими кутами — прямокутник.
Усі кутові трикутники рівнобедрені прямокутні.
Розв’язання крок за кроком
△AEF і △CGH рівнобедрені прямокутні: їх гострі кути по 45°.
EB = AB − AE = BC − CH = BH і FD = DG, тож △EBH і △FDG теж рівнобедрені прямокутні з кутами 45°.
∠FEH = 180° − 45° − 45° = 90°; так само всі інші кути EFGH прямі.
Отже, EFGH — прямокутник.
Доведено.