ABCD — трапеція (BC ∥ AD), ∠ABC = ∠ACD. Знайдіть подібні трикутники й доведіть, що CA² = BC · AD.
Розв’язання
∠BCA = ∠CAD (різносторонні), ∠ABC = ∠DCA (за умовою) — △ABC ∼ △DCA (B ↔ C, C ↔ A, A ↔ D).
Тоді , тобто .
Доведено.
Умова
ABCD — трапеція (BC ∥ AD), ∠ABC = ∠ACD. Знайдіть подібні трикутники й доведіть, що CA² = BC · AD.
Ознаки подібності трикутників: 1) за двома кутами (два кути одного дорівнюють двом кутам іншого); 2) за двома сторонами і кутом між ними (дві сторони пропорційні, а кути між ними рівні); 3) за трьома сторонами (усі сторони пропорційні). Наслідок: прямокутні трикутники подібні, якщо в них є рівний гострий кут.
Розглянь △ABC і △DCA.
Розв’язання крок за кроком
∠BCA = ∠CAD (різносторонні), ∠ABC = ∠DCA (за умовою) — △ABC ∼ △DCA (B ↔ C, C ↔ A, A ↔ D).
Тоді , тобто .
Доведено.