Завдання 11.12, § 11. Узагальнена теорема Фалеса — ГДЗ Геометрія 8 клас Істер

Завдання 11.12

CM ділить медіану AP

На AB трикутника ABC позначено M: AM : MB = 1 : 3. У якому відношенні CM ділить медіану AP?

Розв’язання

Нехай CM перетинає AP у K. Через середину P сторони BC проводимо $P N ∥ C M$ .
У куті B: P — середина BC, тож N — середина MB. Якщо $A M = 1$ частина, то $M B = 3$ , $M N = 1, 5$ .
У куті A: $M K ∥ N P$ , тож $\frac{A K}{K P} = \frac{A M}{M N} = \frac{1}{1 , 5} = \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

AK : KP = 2 : 3.

Розбір зрозумілий?

§ 11. Узагальнена теорема Фалеса Завдання 11.12 с. 81

CM ділить медіану AP

Умова

На AB трикутника ABC позначено M: AM : MB = 1 : 3. У якому відношенні CM ділить медіану AP?

Що треба знати

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки. Для мал. 11.3 ( $A B ∥ C D$ , $A, C$ на одній стороні кута $O$ , $B, D$ — на іншій): $\frac{O A}{A C} = \frac{O B}{B D}$ , $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ , а отже й $\frac{O A}{O B} = \frac{A C}{B D}$ . Прийом: через середину сторони проводимо пряму, паралельну даному відрізку. Вона ділить потрібний відрізок навпіл (теорема Фалеса), а далі працює узагальнена теорема Фалеса.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Через P проведи PN ∥ CM (N на AB).

Розв’язання крок за кроком

Нехай CM перетинає AP у K. Через середину P сторони BC проводимо $P N ∥ C M$ .
У куті B: P — середина BC, тож N — середина MB. Якщо $A M = 1$ частина, то $M B = 3$ , $M N = 1, 5$ .
У куті A: $M K ∥ N P$ , тож $\frac{A K}{K P} = \frac{A M}{M N} = \frac{1}{1 , 5} = \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

AK : KP = 2 : 3.

Розбір зрозумілий?