ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 178

Алгебра, Істер, 2025 · № 21.12–21.19 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 21. Формула коренів квадратного рівняння

Завдання 21.12

Рівняння з дужками (1)

1) $(x - 3)^{2} = 2 x - 3$ ; 2) $3 (x + 1)^{2} = 2 x + 2$ ; 3) $(x + 3) (x - 1) = 2 x (x - 2) + 5$ ; 4) $x (x - 3) - (x - 5) (x + 5) = (x + 1)^{2}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ , $D = 16$ : 2; 6.
2) $3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ , $D = 4$ : −1; $- \frac{1}{3}$ .
3) $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ : 2; 4.
4) $- 3 x + 25 = x^{2} + 2 x + 1$ , $x^{2} + 5 x - 24 = 0$ , $D = 121$ : −8; 3.

Відповідь:

2; 6 | −1; −1/3 | 2; 4 | −8; 3.

Завдання 21.13

Рівняння з дужками (2)

1) $(x + 2)^{2} = 2 x + 3$ ; 2) $5 (x - 2)^{2} = 3 x - 6$ ; 3) $(x + 2) (x - 3) = 2 x (x - 4) + 6$ ; 4) $x (x - 1) - (x - 3) (x + 3) = (x + 2)^{2} - 1$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ : −1.
2) $5 x^{2} - 23 x + 26 = 0$ , $D = 9$ , $\frac{23 \pm 3}{10}$ : 2; 2,6.
3) $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : 3; 4.
4) $- x + 9 = x^{2} + 4 x + 3$ , $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ : −6; 1.

Відповідь:

−1 | 2; 2,6 | 3; 4 | −6; 1.

Завдання 21.14

Рівняння з дробами і набережна Дніпра

1) $\frac{x ^{2} + 2 x}{3} = \frac{4 x + 1}{5}$ ; 2) $\frac{y + 2}{3} + \frac{y ^{2} - 1}{2} = \frac{1}{3}$ ; 3) x — найбільший корінь першого, y — другого. Знайдіть 21x + 6y — довжину (км) набережної в Дніпрі.

Розв’язання

1) ×15: $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , $D = 64$ , $\frac{2 \pm 8}{10}$ : 1; −0,6.
2) ×6: $3 y^{2} + 2 y - 1 = 0$ , $D = 16$ , $\frac{- 2 \pm 4}{6}$ : $\frac{1}{3}$ ; −1.
3) $21 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1}{3} = 23$ км.

Відповідь:

1) 1; −0,6; 2) 1/3; −1; 3) 23 км.

Завдання 21.15

Рівняння з дробами

1) $\frac{x ^{2} - 3 x}{4} = \frac{2 x + 5}{3}$ ; 2) $\frac{x + 1}{2} + \frac{x ^{2} - 1}{5} = 1$ .

Розв’язання

1) $3 x^{2} - 17 x - 20 = 0$ , $D = 529$ , $\frac{17 \pm 23}{6}$ : $\frac{20}{3}$ ; −1.
2) $2 x^{2} + 5 x - 7 = 0$ , $D = 81$ , $\frac{- 5 \pm 9}{4}$ : 1; −3,5.

Відповідь:

$6 \frac{2}{3}$ ; −1 | 1; −3,5.

Завдання 21.16

Ірраціональні корені (1)

1) $\frac{1}{2} x^{2} - x - 7 = 0$ ; 2) $- x^{2} - 2 x + 4 = 0$ ; 3) $0, 1 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ; 4) $0, 5 x^{2} + 1, 5 x - 4 = 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 2 x - 14 = 0$ , $D = 60$ : $1 \pm 15$ .
2) $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ , $D = 20$ : $- 1 \pm 5$ .
3) $x^{2} - 30 x - 50 = 0$ , $D = 1100$ : $15 \pm 511$ .
4) $x^{2} + 3 x - 8 = 0$ , $D = 41$ : $\frac{- 3 \pm 41}{2}$ .

Відповідь:

$1 \pm 15$ | $- 1 \pm 5$ | $15 \pm 511$ | $\frac{- 3 \pm 41}{2}$ .

Завдання 21.17

Ірраціональні корені (2)

1) $\frac{1}{2} x^{2} + x - 3 = 0$ ; 2) $- x^{2} + 2 x + 11 = 0$ ; 3) $0, 2 x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ; 4) $0, 5 x^{2} - 2, 5 x - 4 = 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 2 x - 6 = 0$ , $D = 28$ : $- 1 \pm 7$ .
2) $x^{2} - 2 x - 11 = 0$ , $D = 48$ : $1 \pm 23$ .
3) $x^{2} + 10 x - 15 = 0$ , $D = 160$ : $- 5 \pm 210$ .
4) $x^{2} - 5 x - 8 = 0$ , $D = 57$ : $\frac{5 \pm 57}{2}$ .

Відповідь:

$- 1 \pm 7$ | $1 \pm 23$ | $- 5 \pm 210$ | $\frac{5 \pm 57}{2}$ .

Завдання 21.18

Рівняння з коренем і модулем (1)

1) $(x - 2) (x^{2} + x - 2) = 0$ ; 2) $x^{2} - \frac{3 x ^{2}}{∣ x ∣} - 4 = 0$ ; 3) $x ∣ x ∣ + 3 x - 4 = 0$ ; 4) $\frac{x ^{3}}{∣ x ∣} - x - 2 = 0$ .

Розв’язання

1) $x = 2$ , $x = 4$ ; або $x^{2} + x - 2 = 0$ : 1; −2 (−2 не входить в ОДЗ). Відповідь: 1; 4.
2) $\frac{x ^{2}}{∣ x ∣} = ∣ x ∣$ , тож $x^{2} - 3∣ x ∣ - 4 = 0$ , $∣ x ∣ = 4$ ( $∣ x ∣ = - 1$ відпадає): ±4.
3) $x ⩾ 0$ : $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ , $x = 1$ ( $- 4$ відпадає); $x < 0$ : $- x^{2} + 3 x - 4 = 0$ , $D < 0$ . Відповідь: 1.
4) $x > 0$ : $x^{2} - x - 2 = 0$ , $x = 2$ ; $x < 0$ : $- x^{2} - x - 2 = 0$ , $D < 0$ . Відповідь: 2.

Відповідь:

1; 4 | ±4 | 1 | 2.

Завдання 21.19

Рівняння з коренем і модулем (2)

1) $(x - 3) (x^{2} - x - 6) = 0$ ; 2) $x^{2} - \frac{2 x ^{2}}{∣ x ∣} - 3 = 0$ ; 3) $x ∣ x ∣ - 4 x - 5 = 0$ ; 4) $\frac{x ^{3}}{∣ x ∣} + 4 x - 12 = 0$ .

Розв’язання

1) $x = 9$ або $x^{2} - x - 6 = 0$ : 3; −2 (відпадає). Відповідь: 3; 9.
2) $∣ x ∣^{2} - 2∣ x ∣ - 3 = 0$ , $∣ x ∣ = 3$ : ±3.
3) $x ⩾ 0$ : $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ , $x = 5$ ; $x < 0$ : $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ , $D < 0$ . Відповідь: 5.
4) $x > 0$ : $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ , $x = 2$ ; $x < 0$ : $x^{2} - 4 x + 12 = 0$ , $D < 0$ . Відповідь: 2.

Відповідь:

3; 9 | ±3 | 5 | 2.