ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 134

Алгебра, Істер, 2025 · № 16.18–16.28 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Тотожність (√a)² = a. Рівняння x² = a

Завдання 16.18

Рівняння (x + b)² = a (2)

1) $(x + 1)^{2} = 16$ ; 2) $(y - 2)^{2} = 25$ ; 3) $(m + 2)^{2} = 0$ ; 4) $(x - 2)^{2} = 3$ ; 5) $(y - \frac{3}{10})^{2} = \frac{1}{100}$ ; 6) $(m - 3)^{2} = - 4$ .

Розв’язання

1) −5; 3. 2) −3; 7. 3) −2.
4) $2 \pm 3$ . 5) 0,2; 0,4. 6) немає.

Відповідь:

−5; 3 | −3; 7 | −2 | 2 ± √3 | 0,2; 0,4 | немає.

Завдання 16.19

Приклади рівнянь x² = a

Наведіть приклад x² = a, яке: 1) має один цілий корінь; 2) два цілі корені; 3) не має коренів; 4) два раціональні корені; 5) корені є, але не раціональні.

Розв’язання

1) $x^{2} = 0$ ; 2) $x^{2} = 4$ ; 3) $x^{2} = - 1$ ; 4) $x^{2} = \frac{1}{4}$ ; 5) $x^{2} = 2$ .

Відповідь:

Наприклад, як у кроках.

Завдання 16.20

Рівняння, що зводяться до x² = a (1)

1) $\frac{x + 1}{6} = \frac{4}{x - 1}$ ; 2) $(2 x - 3)^{2} + (2 x + 3)^{2} = 20$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 1 = 24$ , $x = \pm 5$ (обидва допустимі).
2) $8 x^{2} + 18 = 20$ , $x^{2} = \frac{1}{4}$ , $x = \pm \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

1) ±5; 2) ±1/2.

Завдання 16.21

Рівняння, що зводяться до x² = a (2)

1) $\frac{x - 2}{5} = \frac{12}{x + 2}$ ; 2) $(3 x + 1)^{2} + (3 x - 1)^{2} = 4$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 4 = 60$ , $x = \pm 8$ .
2) $18 x^{2} + 2 = 4$ , $x = \pm \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

1) ±8; 2) ±1/3.

Завдання 16.22

Рівняння з коренями й модулем (1)

1) $7 + 2 + x^{2} = 3$ ; 2) $2∣ x^{2} - 5∣ + 3 = 5$ .

Розв’язання

1) $7 + 2 + x^{2} = 9$ , $2 + x^{2} = 4$ , $x = \pm 2$ .
2) $∣ x^{2} - 5∣ = 1$ : $x^{2} = 6$ або $x^{2} = 4$ ; $x = \pm 6$ , $\pm 2$ .

Відповідь:

1) ±√2; 2) ±2; ±√6.

Завдання 16.23

Рівняння з коренями й модулем (2)

1) $1 + x^{2} + 4 = 2$ ; 2) $2∣ x^{2} - 4∣ + 1 = 11$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 4 = 3$ , $x^{2} = 5$ , $x = \pm 5$ .
2) $∣ x^{2} - 4∣ = 5$ : $x^{2} = 9$ (або $- 1$ — відпадає), $x = \pm 3$ .

Відповідь:

1) ±√5; 2) ±3.

Завдання 16.24

Для яких b правильна рівність

1) $(b)^{2} = - b$ ; 2) $(b - 4)^{2} = b - 4$ ; 3) $b (b)^{2} = b^{2}$ .

Розв’язання

1) b = −b при b ≥ 0 — лише b = 0.
2) Для всіх b ≥ 4.
3) Для всіх b ≥ 0.

Відповідь:

1) 0; 2) b ≥ 4; 3) b ≥ 0.

Завдання 16.25

Параметр у рівнянні mx² = 1

Для яких m рівняння mx² = 1: 1) має два корені; 2) один корінь; 3) не має коренів?

Розв’язання

1) m > 0.
2) Таких m немає (1/m ≠ 0).
3) m ≤ 0 (при m = 0 маємо 0 = 1).

Відповідь:

1) m > 0; 2) немає; 3) m ≤ 0.

Завдання 16.26

Спростити вираз

$(x - \frac{4 x - 9}{x - 2}) : (2 x - \frac{2 x}{x - 2})$ .

Розв’язання

$\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 2} : \frac{2 x ^{2} - 6 x}{x - 2} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2 x ( x - 3 )} = \frac{x - 3}{2 x}$ .

Відповідь:

$\frac{x - 3}{2 x}$ .

Завдання 16.27

Значення за умовою 2x − 4y = 1

1) $\frac{4}{x - 2 y}$ ; 2) $\frac{8 y - 4 x}{5}$ ; 3) $\frac{x ^{2} - 4 y ^{2}}{2 , 5 x + 5 y}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4}{0 , 5} = 8$ ; 2) $\frac{- 2}{5} = - 0, 4$ .
3) $\frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{2 , 5 ( x + 2 y )} = \frac{0 , 5}{2 , 5} = 0, 2$ .

Відповідь:

8; −0,4; 0,2.

Завдання 16.28

Порівняти вирази

1) $4 \cdot 9$ і $4 \cdot 9$ ; 2) $\frac{25}{36}$ і $\frac{25}{36}$ .

Розв’язання

1) 6 = 6; 2) 5/6 = 5/6.

Відповідь:

Рівні в обох випадках.