Сторінка 46

Розв’язання

1. Для пункту 1) знаходимо сторону $c$:
   $c^2=18^2+22^2-2\cdot 18\cdot 22\cdot \cos 76^{\circ }\approx 324+484-792\cdot 0,2419\approx 808-191,58=616,42$.
   $c\approx \sqrt{616,42}\approx 24,83\text{см}$.

2. Знаходимо кут $\beta$ за синусовою теоремою:
   $\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{c}=\frac{18\cdot \sin 76^{\circ }}{24,83}\approx \frac{18\cdot 0,9703}{24,83}\approx \frac{17,465}{24,83}\approx 0,7034$.
   $\beta \approx \arcsin (0,7034)\approx 44,7^{\circ }$.

3. Знаходимо кут $\gamma$:
   $\gamma =180^{\circ }-(76^{\circ }+44,7^{\circ })=59,3^{\circ }$.

4. Для пункту 2) знаходимо сторону $c$:
   $c^2=20^2+15^2-2\cdot 20\cdot 15\cdot \cos 104^{\circ }\approx 400+225-600\cdot (-0,2419)\approx 625+145,14=770,14$.
   $c\approx \sqrt{770,14}\approx 27,75\text{см}$.

5. Знаходимо кут $\alpha$:
   $\sin \alpha =\frac{a\sin \gamma }{c}=\frac{20\cdot \sin 104^{\circ }}{27,75}\approx \frac{20\cdot 0,9703}{27,75}\approx \frac{19,406}{27,75}\approx 0,70$.
   $\alpha \approx \arcsin (0,70)\approx 44,4^{\circ }$.

6. Знаходимо кут $\beta$:
   $\beta =180^{\circ }-(104^{\circ }+44,4^{\circ })=31,6^{\circ }$.

Розв’язання

1. Для пункту 1) знаходимо сторону $b$:
   $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta =8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 15^{\circ }\approx 64+36-96\cdot 0,9659\approx 100-92,73=7,27$.
   $b\approx \sqrt{7,27}\approx 2,7\text{см}$.

2. Знаходимо кут $\alpha$:
   $\sin \alpha =\frac{a\sin \beta }{b}=\frac{8\cdot \sin 15^{\circ }}{2,7}\approx \frac{8\cdot 0,2588}{2,7}\approx \frac{2,07}{2,7}\approx 0,767$.
   $\alpha \approx \arcsin (0,767)\approx 50,1^{\circ }$.

3. Знаходимо кут $\gamma$:
   $\gamma =180^{\circ }-(15^{\circ }+50,1^{\circ })=114,9^{\circ }$.

4. Для пункту 2) знаходимо сторону $a$:
   $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha =7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos 145^{\circ }\approx 49+25-70\cdot (-0,8192)\approx 74+57,34=131,34$.
   $a\approx \sqrt{131,34}\approx 11,46\text{см}$.

5. Знаходимо кут $\beta$:
   $\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}=\frac{7\cdot \sin 145^{\circ }}{11,46}\approx \frac{7\cdot 0,5736}{11,46}\approx \frac{4,015}{11,46}\approx 0,35$.
   $\beta \approx \arcsin (0,35)\approx 20,5^{\circ }$.

6. Знаходимо кут $\gamma$:
   $\gamma =180^{\circ }-(145^{\circ }+20,5^{\circ })=14,5^{\circ }$.

Розв’язання

1. Для пункту 1) знаходимо $\cos \alpha$:
   $\cos \alpha =\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{25+49-16}{70}=\frac{58}{70}\approx 0,8286$.
   $\alpha \approx \arccos (0,8286)\approx 34,0^{\circ }$.

2. Знаходимо $\cos \beta$:
   $\cos \beta =\frac{4^2+7^2-5^2}{2\cdot 4\cdot 7}=\frac{16+49-25}{56}=\frac{40}{56}\approx 0,7143$.
   $\beta \approx \arccos (0,7143)\approx 44,4^{\circ }$.

3. Знаходимо $\gamma$:
   $\gamma =180^{\circ }-(34,0^{\circ }+44,4^{\circ })=101,6^{\circ }$.

4. Для пункту 2) знаходимо $\cos \alpha$:
   $\cos \alpha =\frac{19^2+42^2-26^2}{2\cdot 19\cdot 42}=\frac{361+1764-676}{1596}=\frac{1449}{1596}\approx 0,908$.
   $\alpha \approx \arccos (0,908)\approx 24,8^{\circ }$.

5. Знаходимо $\cos \beta$:
   $\cos \beta =\frac{26^2+42^2-19^2}{2\cdot 26\cdot 42}=\frac{676+1764-361}{2184}=\frac{2079}{2184}\approx 0,952$.
   $\beta \approx \arccos (0,952)\approx 17,8^{\circ }$.

6. Знаходимо $\gamma$:
   $\gamma =180^{\circ }-(24,8^{\circ }+17,8^{\circ })=137,4^{\circ }$.

Розв’язання

1. Для першого трикутника ($a=5$, $b=6$, $c=8$):
   Знайдемо $\cos \alpha$: $\cos \alpha =\frac{6^2+8^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 8}=\frac{36+64-25}{96}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}$.
   $\alpha =\arccos (\frac{25}{32})\approx 38^{\circ }$.
   Знайдемо $\cos \beta$: $\cos \beta =\frac{5^2+8^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{25+64-36}{80}=\frac{53}{80}$.
   $\beta =\arccos (\frac{53}{80})\approx 49^{\circ }$.
   Знайдемо $\gamma$: $\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )\approx 180^{\circ }-(38^{\circ }+49^{\circ })=93^{\circ }$.

2. Для другого трикутника ($a=21$, $b=17$, $c=32$):
   Перевіримо нерівність трикутника: $17+21>32$ (так), $17+32>21$ (так), $21+32>17$ (так). Трикутник існує.
   Знайдемо $\cos \alpha$: $\cos \alpha =\frac{17^2+32^2-21^2}{2\cdot 17\cdot 32}=\frac{289+1024-441}{1088}=\frac{872}{1088}=\frac{109}{136}$.
   $\alpha =\arccos (\frac{109}{136})\approx 37^{\circ }$.
   Знайдемо $\cos \beta$: $\cos \beta =\frac{21^2+32^2-17^2}{2\cdot 21\cdot 32}=\frac{441+1024-289}{1344}=\frac{1176}{1344}=\frac{7}{8}$.
   $\beta =\arccos (\frac{7}{8})\approx 29^{\circ }$.
   Знайдемо $\gamma$: $\gamma =180^{\circ }-(37^{\circ }+29^{\circ })=114^{\circ }$.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $\gamma$ за теоремою синусів: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$. Але ми не знаємо $\alpha$. Давайте знайдемо кут $\gamma$, використовуючи теорему косинусів або спробуємо інший підхід. Оскільки дано $a,b,\beta$, то кут $\gamma$ протилежний стороні $a$.
   За теоремою синусів: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$. Це не допомагає без $\alpha$.
   Правильний підхід: знайдемо кут $\gamma$ (протилежний $c$) або спочатку кут $\alpha$ (протилежний $a$).
   Насправді, в умові сказано "кут $\alpha$ гострий" і "кут $\alpha$ тупий". Отже, ми шукаємо кут $\alpha$.
   За теоремою синусів: $\frac{b}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \alpha }$.
   $\sin \alpha =\frac{a\cdot \sin \beta }{b}=\frac{10\cdot \sin 10^{\circ }}{3}\approx \frac{10\cdot 0,1736}{3}\approx 0,5787$.
   ${\alpha }_1=\arcsin (0,5787)\approx 35^{\circ }$ (гострий).
   ${\alpha }_2=180^{\circ }-35^{\circ }=145^{\circ }$ (тупий).
   Перевіримо існування трикутника для обох випадків.
   Випадок 1 ($\alpha \approx 35^{\circ }$): $\gamma =180^{\circ }-(35^{\circ }+10^{\circ })=135^{\circ }$. Знайдемо $c$: $\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }\Rightarrow c=\frac{3\cdot \sin 135^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx \frac{3\cdot 0,707}{0,1736}\approx 12,2\text{см}$.
   Випадок 2 ($\alpha \approx 145^{\circ }$): $\gamma =180^{\circ }-(145^{\circ }+10^{\circ })=25^{\circ }$. Знайдемо $c$: $c=\frac{3\cdot \sin 25^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx \frac{3\cdot 0,4226}{0,1736}\approx 7,3\text{см}$.

Розв’язання

1. Випадок а: Дано дві сторони $a,b$ та третю сторону $c$. Трикутник визначається однозначно за трьома сторонами (SSS). Один трикутник.

2. Випадок б: Дана сторона $b$, кут $\gamma$ між сторонами $a$ і $b$, та сторона $a$. Це випадок SAS (кут між двома сторонами). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

3. Випадок в: Дана сторона $a$, кут $\alpha$ протилежний стороні $a$, та кут $\beta$. Це випадок AAS (два кути і сторона між ними або проти одного з них). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

4. Випадок г: Дана сторона $b$, кут $\beta$ протилежний стороні $b$, та кут $\alpha$. Це також випадок AAS (бо знаємо два кути, отже третій теж відомий). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

5. Випадок д: Дана сторона $c$, кути $\alpha$ і $\beta$. Це випадок ASA (два кути і сторона між ними). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.
   Однак, якщо на рисунку вказано конкретні значення сторін та кутів, де кут гострий і протилежна сторона менша за іншу сторону (наприклад, у випадку б, якщо там було б $a$ і $b$ та кут $\gamma$, але це не так), то можливі два варіанти. Але на рисунках показані лише позначення букв без числових значень, які дозволяють двозначність. Тому загалом для загальних випадків:
   - Якщо дано три сторони (а) — один трикутник.
   - Якщо дано кут між двома сторонами (б) — один трикутник.
   - Якщо дано два кути і сторону (в, г, д) — один трикутник.
   Отже, за умови загальних позначень на рисунку, більше ніж одного трикутника не може бути в жодному з цих випадків, якщо не задано конкретні числа, що дозволяють неоднозначність (наприклад, SSA). Але оскільки на рисунках немає чисел, а лише літери, то зазвичай це означає загальний випадок. Якщо ж мова йде про те, що в яких випадках може бути більше одного трикутника, то це лише випадок SSA (сторона-сторона-кут), де кут протилежний меншій стороні. На рисунках такі позначення не завжди відповідають SSA.
   Випадок б: $a,b,\gamma$ — це SAS? Ні, $\gamma$ між $a$ і $b$? Так, якщо $\gamma$ між $a$ і $b$, то це SAS. Якщо ж $\gamma$ протилежний $c$, а дано $a,b,\gamma$, то це SSA (кут проти однієї з даних сторін). На рисунку б показано $a,b$ та кут $\gamma$ між ними? Ні, на рисунку б показано $a,b$ та кут $\gamma$ протилежний стороні $c$? Так, якщо $\gamma$ протилежний $c$, а дано $a,b$, то це SSA. Тоді можливі два трикутники.
   Випадок в: $a,\alpha ,\beta$. Два кути і сторона між ними (або проти одного). Один трикутник.
   Випадок г: $b,\alpha ,\beta$. Двоє кутів і сторона між ними? Ні, $b$ протилежний $\beta$, а $\alpha$ протилежний $a$. Це AAS. Один трикутник.
   Випадок д: $c,\alpha ,\beta$. Два кути і сторона між ними (ASA). Один трикутник.
   Отже, більше ніж один трикутник може існувати лише у випадку б, якщо $\gamma$ є кутом проти сторони $c$, а дано $a$ і $b$. Тобто це випадок SSA.

Розв’язання

1. Для пункту 1): Знайдемо $\alpha$ за формулою $\sin \alpha =\frac{a\cdot \sin \beta }{b}$. Підставимо числа: $\sin \alpha =\frac{7\cdot \sin 46^{\circ }}{11}\approx \frac{7\cdot 0,7193}{11}\approx 0,458$. Тоді $\alpha \approx 27,3^{\circ }$ (оскільки синус додатний, кут гострий). Знайдемо $\gamma =180^{\circ }-(46^{\circ }+27,3^{\circ })=106,7^{\circ }$. Знайдемо сторону $c$: $c=\frac{b\cdot \sin \gamma }{\sin \beta }=\frac{11\cdot \sin 106,7^{\circ }}{\sin 46^{\circ }}\approx \frac{11\cdot 0,958}{0,7193}\approx 14,5\text{см}$.

2. Для пункту 2): Знайдемо $\alpha$ за формулою $\sin \alpha =\frac{a\cdot \sin \beta }{b}$ (тут $a$ невідоме, треба знайти кут проти $c$, позначимо його як $\gamma$). Спочатку знайдемо $\gamma$: $\sin \gamma =\frac{c\cdot \sin \beta }{b}=\frac{17\cdot \sin 32^{\circ }}{15}\approx \frac{17\cdot 0,5299}{15}\approx 0,604$. Тоді $\gamma \approx 37,2^{\circ }$ (або $180^{\circ }-37,2^{\circ }=142,8^{\circ }$, але сума кутів має бути меншою за $180^{\circ }$, тому беремо гострий кут). Знайдемо $\alpha =180^{\circ }-(32^{\circ }+37,2^{\circ })=110,8^{\circ }$. Знайдемо сторону $a$: $a=\frac{b\cdot \sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{15\cdot \sin 110,8^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}\approx \frac{15\cdot 0,934}{0,5299}\approx 26,4\text{см}$.

3. Для пункту 3): Знайдемо $\beta$ за формулою $\sin \beta =\frac{b\cdot \sin \gamma }{c}$ (тут $b$ невідоме). Спочатку знайдемо $\beta$: $\sin \beta =\frac{a\cdot \sin \gamma }{c}=\frac{7\cdot \sin 27^{\circ }}{3}\approx \frac{7\cdot 0,454}{3}\approx 1,05$. Оскільки синус кута не може перевищувати $1$, розв'язку немає.

Розв’язання

1. Для пункту 1): Знайдемо $\beta$ за формулою $\sin \beta =\frac{b\cdot \sin \gamma }{a}$ (тут $b$ невідоме). Спочатку знайдемо $\beta$: $\sin \beta =\frac{c\cdot \sin \gamma }{a}=\frac{30\cdot \sin 102^{\circ }}{23}\approx \frac{30\cdot 0,978}{23}\approx 1,27$. Оскільки синус кута не може перевищувати $1$, розв'язку немає.

2. Для пункту 2): Знайдемо $\gamma$ за формулою $\sin \gamma =\frac{c\cdot \sin \alpha }{a}$ (тут $c$ невідоме). Спочатку знайдемо $\gamma$: $\sin \gamma =\frac{b\cdot \sin \alpha }{a}=\frac{25\cdot \sin 36^{\circ }}{18}\approx \frac{25\cdot 0,5878}{18}\approx 0,819$. Тоді $\gamma \approx 54,9^{\circ }$ (або $180^{\circ }-54,9^{\circ }=125,1^{\circ }$, але сума кутів має бути меншою за $180^{\circ }$, тому беремо гострий кут). Знайдемо $\beta =180^{\circ }-(36^{\circ }+54,9^{\circ })=89,1^{\circ }$. Знайдемо сторону $c$: $c=\frac{a\cdot \sin \gamma }{\sin \alpha }=\frac{18\cdot \sin 54,9^{\circ }}{\sin 36^{\circ }}\approx \frac{18\cdot 0,818}{0,5878}\approx 25,2\text{см}$.