Завдання 16.42, 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 16.42

Доведення: квадрати в прогресії

Значення виразів $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ , $\frac{1}{a + b}$ — послідовні члени арифметичної прогресії. Доведіть, що $a^{2}$ , $b^{2}$ , $c^{2}$ — теж послідовні члени арифметичної прогресії.

Розв’язання

За умовою $\frac{2}{a + c} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{a + 2 b + c}{( b + c ) ( a + b )}$ .
Звідси $2 (b + c) (a + b) = (a + c) (a + 2 b + c)$ .
Ліва частина: $2 ab + 2 b^{2} + 2 a c + 2 b c$ . Права: $(a + c)^{2} + 2 b (a + c) = a^{2} + 2 a c + c^{2} + 2 ab + 2 b c$ .
Після скорочення однакових доданків: $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , тобто $b^{2} - a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Отже, $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ — послідовні члени арифметичної прогресії.

Відповідь:

Доведено: $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ .

Розбір зрозумілий?

16. Арифметична прогресія Завдання 16.42 с. 159

Доведення: квадрати в прогресії

Умова

Що треба знати

Характеристична властивість: числа $x$ , $y$ , $z$ є послідовними членами арифметичної прогресії тоді й лише тоді, коли $2 y = x + z$ (середній член — середнє арифметичне сусідніх).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши 2·(середній) = сума крайніх, зведи до спільного знаменника і спрости.

Розв’язання крок за кроком

За умовою $\frac{2}{a + c} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{a + 2 b + c}{( b + c ) ( a + b )}$ .
Звідси $2 (b + c) (a + b) = (a + c) (a + 2 b + c)$ .
Ліва частина: $2 ab + 2 b^{2} + 2 a c + 2 b c$ . Права: $(a + c)^{2} + 2 b (a + c) = a^{2} + 2 a c + c^{2} + 2 ab + 2 b c$ .
Після скорочення однакових доданків: $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , тобто $b^{2} - a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Отже, $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ — послідовні члени арифметичної прогресії.

Відповідь:

Доведено: $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ .

Розбір зрозумілий?