Завдання 1.27, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.27

Нерівність із коренем

Чи виконується при всіх $a$ нерівність $\frac{a ^{2} + 4}{2} ⩾ a^{2} + 3$ ?

Розв’язання

Нехай $t = a^{2} + 3$ , тоді $t ⩾ 3$ і $a^{2} + 4 = t^{2} + 1$ .
$\frac{a ^{2} + 4}{2} - a^{2} + 3 = \frac{t ^{2} + 1}{2} - t = \frac{t ^{2} - 2 t + 1}{2} = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{2} ⩾ 0$ .
Рівність можлива лише при $t = 1$ , але $t ⩾ 3 > 1$ , тому різниця навіть додатна.

Відповідь:

Так, виконується при всіх $a$ (і навіть строго: $\frac{a ^{2} + 4}{2} > a^{2} + 3$ ).

Розбір зрозумілий?