Завдання 1.27, § 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 1. Числові нерівності Завдання 1.27 с. 20

Умова

Доведіть: 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩾ 2$ , якщо $a > 0$ , $b > 0$ ; 2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩽ - 2$ , якщо $a < 0$ , $b > 0$ .

Що треба знати

Щоб довести нерівність $A > B$ , складають різницю $A - B$ , спрощують її й показують, що вона додатна (для $A ⩾ B$ — невід’ємна).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зведи до спільного знаменника $ab$ .

Розв’язання крок за кроком

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{ab} = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab} ⩾ 0$ , бо $ab > 0$ .
2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{( a + b ) ^{2}}{ab}$ . Тепер $ab < 0$ , а чисельник $⩾ 0$ , тож дріб $⩽ 0$ .

Відповідь:

1) різниця $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} ⩾ 0$ ; 2) $\frac{( a + b ) ^{2}}{ab} ⩽ 0$ .

Розбір зрозумілий?