Завдання 1.26, § 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 1. Числові нерівності Завдання 1.26 с. 20

Нерівність Коші

Умова

Доведіть: 1) $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} ⩾ 4$ , якщо $a$ і $b$ одного знака; 2) $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} ⩽ - 1$ , якщо $m$ і $n$ різних знаків.

Що треба знати

Нерівність Коші: для $x ⩾ 0, y ⩾ 0$ виконується $\frac{x + y}{2} ⩾ x y$ , тобто $x + y ⩾ 2 x y$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Перемнож доданки — добуток виходить сталим числом.

Розв’язання крок за кроком

1) Якщо $a$ і $b$ одного знака, обидва дроби додатні. Їх добуток: $\frac{7 a}{2 b} \cdot \frac{8 b}{7 a} = 4$ .
За нерівністю Коші: $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} ⩾ 24 = 4$ .
2) Якщо знаки різні, обидва дроби від’ємні. Позначимо $x = - \frac{3 m}{5 n} > 0$ , $y = - \frac{5 n}{12 m} > 0$ ; $x y = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ .
Тоді $x + y ⩾ 2 \frac{1}{4} = 1$ , а отже $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} = - (x + y) ⩽ - 1$ .

Відповідь:

Обидві нерівності випливають із нерівності Коші.

Розбір зрозумілий?