Завдання 1.24, § 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 1. Числові нерівності Завдання 1.24 с. 20

Нерівності для додатних a

Умова

Для кожного додатного $a$ доведіть: 1) $a^{3} + 2 a^{2} + a > 0$ ; 2) $a^{3} + 1 ⩾ a^{2} + a$ ; 3) $(a + 1)^{3} ⩽ 4 (a^{3} + 1)$ ; 4) $a^{6} - a^{5} + a^{4} > 0$ .

Що треба знати

$a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a + 1)$ — сума кубів.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розклади різниці на множники й подивись на знак кожного.

Розв’язання крок за кроком

1) $a^{3} + 2 a^{2} + a = a (a + 1)^{2} > 0$ , бо $a > 0$ і $(a + 1)^{2} > 0$ .
2) $a^{3} + 1 - a^{2} - a = a^{2} (a - 1) - (a - 1) = (a - 1) (a^{2} - 1) = (a - 1)^{2} (a + 1) ⩾ 0$ .
3) $4 (a^{3} + 1) - (a + 1)^{3} = (a + 1) (4 (a^{2} - a + 1) - (a + 1)^{2}) = (a + 1) (3 a^{2} - 6 a + 3) = 3 (a + 1) (a - 1)^{2} ⩾ 0$ .
4) $a^{6} - a^{5} + a^{4} = a^{4} (a^{2} - a + 1)$ , де $a^{2} - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ і $a^{4} > 0$ .

Відповідь:

Усі чотири нерівності доведено розкладом на множники.

Розбір зрозумілий?