Завдання 1.23
Сума квадратів
Доведіть нерівність: 1) m2+4m+p2+2p+5⩾0; 2) a2+b2⩾4(a+b)−8; 3) m2+n2+1⩾m+n+mn; 4) a2+b2+c2>2(a+b+c)−4.
Розв’язання
1) m2+4m+4+p2+2p+1=(m+2)2+(p+1)2⩾0.
2) a2+b2−4a−4b+8=(a−2)2+(b−2)2⩾0.
3) 2(m2+n2+1−m−n−mn)=(m−n)2+(m−1)2+(n−1)2⩾0, тож і сама різниця ⩾0.
4) a2+b2+c2−2a−2b−2c+4=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2+1>0.
Відповідь: Кожну різницю подано як суму квадратів (у 4 — ще й плюс 1), тому нерівності доведено.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Числові нерівності
Завдання 1.23
с. 20
Сума квадратів
Умова
Доведіть нерівність: 1) m2+4m+p2+2p+5⩾0; 2) a2+b2⩾4(a+b)−8; 3) m2+n2+1⩾m+n+mn; 4) a2+b2+c2>2(a+b+c)−4.
Що треба знати
Сума квадратів невід’ємна. Часто вільний член треба «розділити» між кількома квадратами.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
У 3) помнож різницю на 2 і склади три квадрати: (m−n)2, (m−1)2, (n−1)2.
Розв’язання крок за кроком
1) m2+4m+4+p2+2p+1=(m+2)2+(p+1)2⩾0.
2) a2+b2−4a−4b+8=(a−2)2+(b−2)2⩾0.
3) 2(m2+n2+1−m−n−mn)=(m−n)2+(m−1)2+(n−1)2⩾0, тож і сама різниця ⩾0.
4) a2+b2+c2−2a−2b−2c+4=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2+1>0.
Відповідь: Кожну різницю подано як суму квадратів (у 4 — ще й плюс 1), тому нерівності доведено.
Розбір зрозумілий?
