Завдання 1.22, § 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 1. Числові нерівності Завдання 1.22 с. 20

Умова

Доведіть: 1) $m^{3} + m^{2} + 5 m + 5 ⩾ 0$ , якщо $m ⩾ - 1$ ; 2) $\frac{p}{p + 7} < \frac{p + 1}{p + 8}$ , якщо $p > 0$ .

Що треба знати

Щоб довести нерівність $A > B$ , складають різницю $A - B$ , спрощують її й показують, що вона додатна (для $A ⩾ B$ — невід’ємна).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Групування в першому, спільний знаменник у другому.

Розв’язання крок за кроком

1) $m^{3} + m^{2} + 5 m + 5 = m^{2} (m + 1) + 5 (m + 1) = (m + 1) (m^{2} + 5)$ .
При $m ⩾ - 1$ : $m + 1 ⩾ 0$ , $m^{2} + 5 > 0$ — добуток $⩾ 0$ .
2) $\frac{p}{p + 7} - \frac{p + 1}{p + 8} = \frac{p ( p + 8 ) - ( p + 1 ) ( p + 7 )}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{p ^{2} + 8 p - p ^{2} - 8 p - 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{- 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )}$ .
При $p > 0$ знаменник додатний, тому різниця $< 0$ — доведено.

Відповідь:

1) $(m + 1) (m^{2} + 5) ⩾ 0$ ; 2) різниця $\frac{- 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} < 0$ .

Розбір зрозумілий?