Завдання 1.21, § 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 1. Числові нерівності Завдання 1.21 с. 20

Умова

Доведіть: 1) $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 ⩾ 0$ , якщо $x ⩾ 3$ ; 2) $\frac{3}{a + 3} > \frac{1}{a + 1}$ , якщо $a > 0$ .

Що треба знати

Щоб довести нерівність $A > B$ , складають різницю $A - B$ , спрощують її й показують, що вона додатна (для $A ⩾ B$ — невід’ємна).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

У першому розклади на множники групуванням, у другому зведи дроби до спільного знаменника.

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 = x^{2} (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x^{2} + 1)$ .
При $x ⩾ 3$ : $x - 3 ⩾ 0$ , а $x^{2} + 1 > 0$ , тож добуток $⩾ 0$ — доведено.
2) $\frac{3}{a + 3} - \frac{1}{a + 1} = \frac{3 ( a + 1 ) - ( a + 3 )}{( a + 3 ) ( a + 1 )} = \frac{2 a}{( a + 3 ) ( a + 1 )}$ .
При $a > 0$ чисельник і обидва множники знаменника додатні, отже різниця $> 0$ — доведено.

Відповідь:

1) $(x - 3) (x^{2} + 1) ⩾ 0$ ; 2) різниця дорівнює $\frac{2 a}{( a + 3 ) ( a + 1 )} > 0$ .

Розбір зрозумілий?