Завдання 1.13
Доведення нерівностей через різницю
Доведіть нерівність: 1) 2a−3<2(a−1); 2) c(c+2)>c2+2c−3; 3) (x+2)(x−2)+5>x2; 4) 3m−2<m(m+3).
Розв’язання
1) 2a−3−2(a−1)=2a−3−2a+2=−1<0 — доведено.
2) c(c+2)−(c2+2c−3)=c2+2c−c2−2c+3=3>0 — доведено.
3) (x+2)(x−2)+5−x2=x2−4+5−x2=1>0 — доведено.
4) 3m−2−m(m+3)=3m−2−m2−3m=−m2−2<0, бо −m2⩽0 — доведено.
Відповідь: Різниці дорівнюють −1; 3; 1; −m2−2 — знаки відповідають нерівностям, тому вони правильні.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Числові нерівності
Завдання 1.13
с. 19
Доведення нерівностей через різницю
Умова
Доведіть нерівність: 1) 2a−3<2(a−1); 2) c(c+2)>c2+2c−3; 3) (x+2)(x−2)+5>x2; 4) 3m−2<m(m+3).
Що треба знати
Щоб довести нерівність A>B, складають різницю A−B, спрощують її й показують, що вона додатна (для A⩾B — невід’ємна).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Склади різницю й спрости.
Розв’язання крок за кроком
1) 2a−3−2(a−1)=2a−3−2a+2=−1<0 — доведено.
2) c(c+2)−(c2+2c−3)=c2+2c−c2−2c+3=3>0 — доведено.
3) (x+2)(x−2)+5−x2=x2−4+5−x2=1>0 — доведено.
4) 3m−2−m(m+3)=3m−2−m2−3m=−m2−2<0, бо −m2⩽0 — доведено.
Відповідь: Різниці дорівнюють −1; 3; 1; −m2−2 — знаки відповідають нерівностям, тому вони правильні.
Розбір зрозумілий?
