Завдання 1.12
Доведення нерівностей через різницю
Доведіть нерівність: 1) 3m+5>3(m−1); 2) p(p−2)<p2−2p+7; 3) (a+1)(a−1)<a2; 4) x(x+2)>2x−1.
Розв’язання
1) 3m+5−3(m−1)=3m+5−3m+3=8>0 — доведено.
2) p(p−2)−(p2−2p+7)=p2−2p−p2+2p−7=−7<0 — доведено.
3) (a+1)(a−1)−a2=a2−1−a2=−1<0 — доведено.
4) x(x+2)−(2x−1)=x2+2x−2x+1=x2+1>0, бо x2⩾0 — доведено.
Відповідь: У кожному випадку різниця має потрібний знак (8; −7; −1; x2+1), тому нерівності правильні для всіх значень змінних.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Числові нерівності
Завдання 1.12
с. 19
Доведення нерівностей через різницю
Умова
Доведіть нерівність: 1) 3m+5>3(m−1); 2) p(p−2)<p2−2p+7; 3) (a+1)(a−1)<a2; 4) x(x+2)>2x−1.
Що треба знати
Щоб довести нерівність A>B, складають різницю A−B, спрощують її й показують, що вона додатна (для A⩾B — невід’ємна).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розкрий дужки в різниці лівої та правої частин.
Розв’язання крок за кроком
1) 3m+5−3(m−1)=3m+5−3m+3=8>0 — доведено.
2) p(p−2)−(p2−2p+7)=p2−2p−p2+2p−7=−7<0 — доведено.
3) (a+1)(a−1)−a2=a2−1−a2=−1<0 — доведено.
4) x(x+2)−(2x−1)=x2+2x−2x+1=x2+1>0, бо x2⩾0 — доведено.
Відповідь: У кожному випадку різниця має потрібний знак (8; −7; −1; x2+1), тому нерівності правильні для всіх значень змінних.
Розбір зрозумілий?
