Завдання 3.39, § 3. Почленне додавання і множення нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 3. Почленне додавання і множення нерівностей Завдання 3.39 с. 35

Олімпіадна задача (1962 р.)

Умова

Знайдіть значення виразу $a^{3} + b^{3} + 3 (a^{3} b + a b^{3}) + 6 (a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3})$ , де $a$ і $b$ — корені рівняння $x^{2} - x + q = 0$ .

Що треба знати

Вієта: $a + b = 1$ , $ab = q$ . Корисно: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вирази кожну групу через $a + b$ і $ab$ .

Розв’язання крок за кроком

$a^{3} + b^{3} = 1 - 3 q$ .
$a^{3} b + a b^{3} = ab (a^{2} + b^{2}) = q ((a + b)^{2} - 2 ab) = q (1 - 2 q)$ .
$a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} = a^{2} b^{2} (a + b) = q^{2}$ .
Разом: $1 - 3 q + 3 q (1 - 2 q) + 6 q^{2} = 1 - 3 q + 3 q - 6 q^{2} + 6 q^{2} = 1$ .

Відповідь:

$1$ (при будь-якому $q$ ).

Розбір зрозумілий?