ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 90

Геометрія, Істер, 2025 · № 13.8–13.17 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Ознаки подібності трикутників

Завдання 13.8

Точки на третинах сторін

P на AB, L на AC, $A P = \frac{1}{3} A B$ , $A L = \frac{1}{3} A C$ . Доведіть, що △APL ∼ △ABC.

Розв’язання

$\frac{A P}{A B} = \frac{A L}{A C} = \frac{1}{3}$ , кут A спільний — друга ознака.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.9

Точки на двох третинах сторін

A на KL, B на KN, $K A = \frac{2}{3} K L$ , $K B = \frac{2}{3} K N$ . Доведіть, що △KAB ∼ △KLN.

Розв’язання

$\frac{K A}{K L} = \frac{K B}{K N} = \frac{2}{3}$ і кут K спільний.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.10

Чи подібні (1)

1) AB : BC : CA = 3 : 4 : 6, A₁B₁ = 6, B₁C₁ = 8, C₁A₁ = 11; 2) ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠A₁ : ∠B₁ : ∠C₁ = 1 : 2 : 3.

Розв’язання

1) $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , але $\frac{11}{6} \neq = 2$ — не подібні.
2) Кути другого: 30°, 60°, 90°; у першого ∠C = 90° — подібні.

Відповідь:

1) ні; 2) так.

Завдання 13.11

Чи подібні (2)

1) AB : BC : CA = 4 : 3 : 7, A₁B₁ = 8, B₁C₁ = 6, C₁A₁ = 14; 2) ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4, ∠A₁ = 20°, ∠B₁ = 50°.

Розв’язання

1) Формально відношення однакові: $\frac{8}{4} = \frac{6}{3} = \frac{14}{7} = 2$ . Але $4 + 3 = 7$ , тож трикутника з такими сторонами не існує (точки лежать на одній прямій) — умова некоректна.
2) Кути першого: 40°, 60°, 80°; другого: 20°, 50°, 110° — не подібні.

Відповідь:

1) відношення збігаються, але такі «трикутники» вироджені; 2) ні.

Завдання 13.12

Подібні трикутники на мал. 13.5–13.7

Мал. 13.5: прямокутні △ABC (∠A = 90°) і △LKC (∠L = 90°) з вершиною C на перетині AL і BK. Мал. 13.6: рівнобедрені △KLP і △MNF з кутами при вершинах L і N по 40°. Мал. 13.7: △ABC, L на AC, K на BC, ∠CKL = ∠A.

Розв’язання

13.5: ∠ACB = ∠LCK (вертикальні), ∠A = ∠L = 90° — △ABC ∼ △LKC.
13.6: кути при основах обох трикутників (180° − 40°) : 2 = 70° — △KLP ∼ △MNF.
13.7: кут C спільний, ∠CKL = ∠CAB — △CKL ∼ △CAB.

Відповідь:

△ABC ∼ △LKC; △KLP ∼ △MNF; △CKL ∼ △CAB.

Завдання 13.13

Подібні трикутники на мал. 13.8–13.10

Мал. 13.8: прямокутний △ABC (∠A = 90°), K на AB, L на BC, ∠BLK = ∠C. Мал. 13.9: рівнобедрений △PMT (MP = MT) із зовнішнім кутом 110° при M і рівнобедрений △HKN (KH = KN), ∠K = 70°. Мал. 13.10: прямокутний △ABC (∠B = 90°), F на BC, T на AC, FT ⟂ AC.

Розв’язання

13.8: кут B спільний, ∠BLK = ∠BCA — △KBL ∼ △ABC.
13.9: ∠PMT = 180° − 110° = 70° = ∠K, обидва рівнобедрені — △PMT ∼ △HKN.
13.10: кут C спільний, ∠FTC = ∠ABC = 90° — △FTC ∼ △ABC.

Відповідь:

△KBL ∼ △ABC; △PMT ∼ △HKN; △FTC ∼ △ABC.

Завдання 13.14

Трикутники при діагоналях трапеції

O — точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD). Доведіть, що △AOB ∼ △COD.

Розв’язання

∠AOB = ∠COD (вертикальні), ∠OAB = ∠OCD (різносторонні при AB ∥ CD і січній AC).
За двома кутами — подібні.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.15

Знайти OB

Трапеція ABCD, AB ∥ CD, AB = 10 см, CD = 5 см, OD = 4 см. Знайдіть OB.

Розв’язання

$\frac{O B}{O D} = \frac{A B}{C D} = 2$ , $O B = 8$ см.

Відповідь:

8 см.

Завдання 13.16

Знайти AB

Трапеція ABCD (AB ∥ CD), DO = 3 см, OB = 9 см, DC = 2 см. Знайдіть AB.

Розв’язання

AB = 3 · DC = 6 см.

Відповідь:

6 см.

Завдання 13.17

Трикутник AMN прямокутний

У △ABC (∠C = 90°) M на AC, N на AB, $A M = \frac{3}{4} A C$ , $A N = \frac{3}{4} A B$ . Доведіть, що △AMN прямокутний.

Розв’язання

$\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B} = \frac{3}{4}$ , кут A спільний — △AMN ∼ △ACB.
∠AMN = ∠ACB = 90°.

Відповідь:

Доведено.