ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 100

Геометрія, Істер, 2025 · № 15.6–15.17 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Властивість бісектриси трикутника

Завдання 15.6

Знайти KP

MD — бісектриса △KMP, KM = 8 см, MP = 6 см, менший відрізок KP дорівнює 3 см. Знайдіть KP.

Розв’язання

KD : DP = 8 : 6; DP = 3, тож KD = 4.
KP = 7 см.

Відповідь:

7 см.

Завдання 15.7

Знайти AC

AB = 6 см, BC = 12 см, більший відрізок AC, на які його ділить бісектриса BK, дорівнює 6 см. Знайдіть AC.

Розв’язання

KC = 6, AK = 3.
AC = 9 см.

Відповідь:

9 см.

Завдання 15.8

Знайти BL і LC

AL — бісектриса △ABC, AB = 15 см, AC = 12 см, BC = 18 см. Знайдіть BL і LC.

Розв’язання

9x = 18, x = 2.
BL = 10 см, LC = 8 см.

Відповідь:

10 см і 8 см.

Завдання 15.9

Периметр за різницею відрізків

Бісектриса ділить сторону на відрізки з різницею 1 см, дві інші сторони 8 см і 6 см. Знайдіть периметр.

Розв’язання

2x = 1, x = 0,5: відрізки 4 і 3 см, сторона 7 см.
P = 8 + 6 + 7 = 21 см.

Відповідь:

21 см.

Завдання 15.10

Рівнобедрений: основа 18, відрізок 12

Основа рівнобедреного трикутника 18 см, бісектриса кута при основі ділить бічну сторону так, що відрізок біля основи 12 см. Знайдіть периметр.

Розв’язання

Нехай бічна сторона $b$ : $\frac{b - 12}{12} = \frac{b}{18}$ .
18b − 216 = 12b, b = 36.
P = 36 + 36 + 18 = 90 см.

Відповідь:

90 см.

Завдання 15.11

Основа менша на 9 см, відрізки 2 : 5

Основа рівнобедреного трикутника на 9 см менша від бічної сторони, бісектриса кута при основі ділить бічну сторону у відношенні 2 : 5. Знайдіть периметр.

Розв’язання

$\frac{b - 9}{b} = \frac{2}{5}$ , $5 b - 45 = 2 b$ , $b = 15$ .
Основа 6 см; P = 15 + 15 + 6 = 36 см.

Відповідь:

36 см.

Завдання 15.12

Півколо, що дотикається до двох сторін

Сторони трикутника 15, 21 і 24 см. Центр півкола лежить на більшій стороні, а півколо дотикається до двох інших. На які відрізки центр ділить більшу сторону?

Розв’язання

Центр рівновіддалений від сторін 15 і 21 см, тож лежить на бісектрисі кута між ними.
Відрізки відносяться як 15 : 21 = 5 : 7: 12x = 24, x = 2.
Відрізки 10 см і 14 см.

Відповідь:

10 см і 14 см.

Завдання 15.13

Ромб у трикутнику

У △ABC вписано ромб CKLM зі спільним кутом C (K ∈ AC, L ∈ AB, M ∈ BC). AC = 18 см, BC = 12 см, AB = 20 см. Знайдіть AL і LB.

Розв’язання

CL — бісектриса △ABC, тож AL : LB = 18 : 12 = 3 : 2.
5x = 20, x = 4: AL = 12 см, LB = 8 см.

Відповідь:

AL = 12 см, LB = 8 см.

Завдання 15.14

Бісектриса гострого кута паралелограма

Сторони паралелограма a і b (a > b). На які відрізки бісектриса гострого кута ділить більшу сторону?

Розв’язання

Від вершини, прилеглої до сторони b, відтинається відрізок b, решта a − b.

Відповідь:

b і a − b.

Завдання 15.15

Чи може діагональ ділити навпіл два кути

Чи може діагональ AC трапеції ABCD ділити навпіл і кут A, і кут C?

Розв’язання

Нехай AD ∥ BC. Тоді ∠BCA = ∠CAD. Якщо AC — бісектриса і A, і C, то всі чотири кути BAC, CAD, BCA, ACD рівні.
△ABC = △CDA (AC — спільна, прилеглі кути рівні), тож AB = CD і BC = AD.
Протилежні сторони попарно рівні — це паралелограм (ромб), а не трапеція.

Відповідь:

Ні.

Завдання 15.16

Обернене твердження про висоту

У △ABC висота CH така, що CH² = AH · BH, і H лежить на AB. Доведіть, що ∠C = 90°.

Розв’язання

Прямокутні △AHC і △CHB: CH/AH = BH/CH — подібні, тож ∠ACH = ∠CBH.
∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = ∠CBH + ∠HCB = 90° (гострі кути прямокутного △CHB).

Відповідь:

Доведено.

Завдання 15.17

Суха суміш для тинькування

Кімната 3,5 × 4,5 м, висота 2,8 м; двері 0,9 × 2 м, вікно 2,2 × 1,8 м. На 5 м² — 6 мішків суміші. Скільки мішків купити?

Розв’язання

Стіни: 2(3,5 + 4,5) · 2,8 = 44,8 м².
Без дверей (1,8 м²) і вікна (3,96 м²): 39,04 м².
39,04 : 5 · 6 ≈ 46,8 — потрібно 47 мішків.

Відповідь:

47 мішків.