Завдання 21.34, § 21. Многокутник і його елементи. Сума кутів опуклого многокутника. Многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола
Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного прямокутного трикутника знайдуться точки обох множин.
Розв’язання
Виберемо діаметр PQ. До першої множини віднесемо точки півкола від P до Q, включаючи P і не включаючи Q (обхід проти годинникової стрілки), до другої — решту точок.
Із двох діаметрально протилежних точок рівно одна належить такому «напіввідкритому» півколу.
Гіпотенуза будь-якого вписаного прямокутного трикутника — діаметр, тож її кінці лежать у різних множинах.
Відповідь:
Доведено.
Розбір зрозумілий?
§ 21. Многокутник і його елементи. Сума кутів опуклого многокутника. Многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо колаЗавдання 21.34с. 161
Олімпіада Бразилії 1983: розбиття кола
Умова
Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного прямокутного трикутника знайдуться точки обох множин.
Досить, щоб кінці кожного діаметра були в різних множинах.
Розв’язання крок за кроком
Виберемо діаметр PQ. До першої множини віднесемо точки півкола від P до Q, включаючи P і не включаючи Q (обхід проти годинникової стрілки), до другої — решту точок.
Із двох діаметрально протилежних точок рівно одна належить такому «напіввідкритому» півколу.
Гіпотенуза будь-якого вписаного прямокутного трикутника — діаметр, тож її кінці лежать у різних множинах.
