Завдання 19.46, § 19. Синус, косинус і тангенс гострого кута — ГДЗ Геометрія 8 клас Істер

Завдання 19.46

Задача Архімеда про перпендикулярні хорди

Хорди AB і CD перетинаються в E під прямим кутом. Доведіть, що AE² + BE² + CE² + DE² дорівнює квадрату діаметра.

Розв’язання

$A E^{2} + B E^{2} = (A E + B E)^{2} - 2 A E \cdot B E = A B^{2} - 2 (R^{2} - O E^{2})$ ; так само $C E^{2} + D E^{2} = C D^{2} - 2 (R^{2} - O E^{2})$ .
$A B^{2} = 4 (R^{2} - O M^{2})$ , $C D^{2} = 4 (R^{2} - O N^{2})$ , а OMEN — прямокутник, тож $O M^{2} + O N^{2} = O E^{2}$ .
Сума: $8 R^{2} - 4 O E^{2} - 4 R^{2} + 4 O E^{2} = 4 R^{2} = (2 R)^{2}$ .

Відповідь:

Доведено.

Розбір зрозумілий?