Висоти гострокутного △ABC перетинаються в O; на OB і OC позначено B₁ і C₁ так, що ∠AB₁C = ∠AC₁B = 90°. Доведіть, що AB₁ = AC₁.
Розв’язання
Нехай BH₂ ⟂ AC, CH₃ ⟂ AB. У прямокутному △AB₁C відрізок B₁H₂ — висота до гіпотенузи, тож AB₁² = AH₂ · AC. Так само AC₁² = AH₃ · AB.
Прямокутні △ABH₂ і △ACH₃ подібні (спільний кут A), тож AH₂/AB = AH₃/AC, тобто AH₂ · AC = AH₃ · AB.
Отже, AB₁² = AC₁² і AB₁ = AC₁.
Відповідь:
Доведено.
Розбір зрозумілий?
§ 14. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутникуЗавдання 14.27с. 98
Олімпіада Нью-Йорка: AB₁ = AC₁
Умова
Висоти гострокутного △ABC перетинаються в O; на OB і OC позначено B₁ і C₁ так, що ∠AB₁C = ∠AC₁B = 90°. Доведіть, що AB₁ = AC₁.
Що треба знати
У прямокутному трикутнику з висотою h до гіпотенузи c і проєкціями катетів ac, bc: h2=ac⋅bc, a2=c⋅ac, b2=c⋅bc. Середнє пропорційне відрізків m і n — це mn.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
B₁ лежить на висоті BH₂, яка перпендикулярна до AC.
Розв’язання крок за кроком
Нехай BH₂ ⟂ AC, CH₃ ⟂ AB. У прямокутному △AB₁C відрізок B₁H₂ — висота до гіпотенузи, тож AB₁² = AH₂ · AC. Так само AC₁² = AH₃ · AB.
Прямокутні △ABH₂ і △ACH₃ подібні (спільний кут A), тож AH₂/AB = AH₃/AC, тобто AH₂ · AC = AH₃ · AB.
