Завдання 13.52
Олімпіадна: бісектриса й медіана з прямого кута
Чи можуть бісектриса і медіана з вершини прямого кута утворювати рівнобедрений трикутник (з гіпотенузою)? Якщо так, знайдіть менший гострий кут.
Розв’язання
CM = MB, тож ∠MCB = ∠B, а бісектриса дає ∠LCB = 45°. Отже, ∠LCM = 45° − ∠B.
∠CMA = 2∠B (зовнішній кут △CMB), тож у △CLM: кут при M дорівнює 2∠B, кут при L — 135° − ∠B.
Рівнобедреним він буде, якщо 45° − ∠B = 2∠B, тобто ∠B = 15° (кути 30°, 30°, 120°). Інші рівності дають ∠B = 45° — вироджений випадок.
Відповідь: Так; менший гострий кут 15°.
Розбір зрозумілий?
§ 13. Ознаки подібності трикутників
Завдання 13.52
с. 94
Олімпіадна: бісектриса й медіана з прямого кута
Умова
Чи можуть бісектриса і медіана з вершини прямого кута утворювати рівнобедрений трикутник (з гіпотенузою)? Якщо так, знайдіть менший гострий кут.
Що треба знати
Медіана до гіпотенузи дорівнює її половині, тож утворює з катетом кут, що дорівнює прилеглому гострому куту трикутника.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Нехай ∠B менший за 45°; знайди кути трикутника CLM.
Розв’язання крок за кроком
CM = MB, тож ∠MCB = ∠B, а бісектриса дає ∠LCB = 45°. Отже, ∠LCM = 45° − ∠B.
∠CMA = 2∠B (зовнішній кут △CMB), тож у △CLM: кут при M дорівнює 2∠B, кут при L — 135° − ∠B.
Рівнобедреним він буде, якщо 45° − ∠B = 2∠B, тобто ∠B = 15° (кути 30°, 30°, 120°). Інші рівності дають ∠B = 45° — вироджений випадок.
Відповідь: Так; менший гострий кут 15°.
Розбір зрозумілий?
