ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 205

Алгебра, Істер, 2025 · № 25.27–25.36 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

Завдання 25.27

Ще одне дробове рівняння

$\frac{1}{x - 3} - \frac{14}{x ^{3} - x ^{2} - 9 x + 9} = \frac{1}{x ^{2} + 2 x - 3}$ .

Розв’язання

$(x - 1) (x + 3) - 14 = x - 3$ , $x^{2} + x - 14 = 0$ , $D = 57$ .
$x = \frac{- 1 \pm 57}{2}$ — жоден не дорівнює 1, 3, −3.

Відповідь:

$\frac{- 1 \pm 57}{2}$ .

Завдання 25.28

Рівняння вищих степенів (1)

1) $x^{5} + x^{4} - 6 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 5 = 0$ ; 2) $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ .

Розв’язання

1) $(x + 1) (x^{4} - 6 x^{2} + 5) = (x + 1) (x^{2} - 1) (x^{2} - 5)$ : ±1; $\pm 5$ .
2) $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 2 x (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$ : 1; $\frac{- 3 \pm 5}{2}$ .

Відповідь:

±1; $\pm 5$ | 1; $\frac{- 3 \pm 5}{2}$ .

Завдання 25.29

Рівняння вищих степенів (2)

1) $x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 3 = 0$ ; 2) $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

Розв’язання

1) $(x - 1) (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = (x - 1) (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ : 1; $\pm 3$ .
2) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 - 3 x) = (x + 2) (x - 1) (x - 4)$ : −2; 1; 4.

Відповідь:

1; $\pm 3$ | −2; 1; 4.

Завдання 25.30

Заміна змінної (3)

1) $x - x - 6 = 0$ ; 2) $(x^{2} + 2 x - 2) (x^{2} + 2 x - 4) = 8$ ; 3) $(x - 2)^{4} - 2 (x - 2)^{2} - 3 = 0$ ; 4) $(x^{2} + x + 1)^{2} - 8 x^{2} - 8 x - 1 = 0$ .

Розв’язання

1) $t = x ⩾ 0$ : $t^{2} - t - 6 = 0$ , t = 3 → x = 9.
2) $t = x^{2} + 2 x$ : $(t - 2) (t - 4) = 8$ , $t^{2} - 6 t = 0$ ; t = 0: 0; −2; t = 6: $- 1 \pm 7$ .
3) $t = (x - 2)^{2}$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , t = 3: $x = 2 \pm 3$ .
4) $t = x^{2} + x$ : $(t + 1)^{2} - 8 t - 1 = t^{2} - 6 t = 0$ ; t = 0: 0; −1; t = 6: 2; −3.

Відповідь:

9 | −2; 0; $- 1 \pm 7$ | $2 \pm 3$ | −3; −1; 0; 2.

Завдання 25.31

Заміна змінної (4)

1) $x + 2 x - 8 = 0$ ; 2) $(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x - 3) = 3$ ; 3) $(x + 1)^{4} - 5 (x + 1)^{2} - 6 = 0$ ; 4) $(x^{2} - x - 1)^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ .

Розв’язання

1) $t^{2} + 2 t - 8 = 0$ , t = 2 → x = 4.
2) $t = x^{2} - 2 x$ : $(t - 1) (t - 3) = 3$ , $t^{2} - 4 t = 0$ ; t = 0: 0; 2; t = 4: $1 \pm 5$ .
3) $t = (x + 1)^{2}$ : $t^{2} - 5 t - 6 = 0$ , t = 6: $- 1 \pm 6$ .
4) $t = x^{2} - x$ : $(t - 1)^{2} - 4 t - 1 = t^{2} - 6 t = 0$ ; t = 0: 0; 1; t = 6: 3; −2.

Відповідь:

4 | 0; 2; $1 \pm 5$ | $- 1 \pm 6$ | −2; 0; 1; 3.

Завдання 25.32

Тричлен за коренями

Корені $3 x^{2} + b x + c$ дорівнюють −7 і $\frac{2}{3}$ . Розкладіть тричлен на множники.

Розв’язання

$3 (x + 7) (x - \frac{2}{3}) = (x + 7) (3 x - 2)$ .

Відповідь:

$(x + 7) (3 x - 2)$ .

Завдання 25.33

Сума 27, сума квадратів 369

Сума двох чисел 27, сума їх квадратів 369.

Розв’язання

$ab = \frac{729 - 369}{2} = 180$ ; числа — корені $t^{2} - 27 t + 180 = 0$ : 12 і 15.

Відповідь:

12 і 15.

Завдання 25.34

Спростити вираз

$\frac{x - 2}{3 x + 2} \cdot \frac{9 x ^{2} - 4}{2 x ^{2} - 5 x + 2} - \frac{x}{1 - 2 x}$ .

Розв’язання

$\frac{( x - 2 ) ( 3 x - 2 ) ( 3 x + 2 )}{( 3 x + 2 ) ( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} + \frac{x}{2 x - 1} = \frac{3 x - 2 + x}{2 x - 1} = \frac{2 ( 2 x - 1 )}{2 x - 1} = 2$ .

Відповідь:

Завдання 25.35

Велосипедистки назустріч

Відстань 84 км, зустрілися через 3 год; швидкість однієї на 4 км/год більша.

Розв’язання

2v + 4 = 28, v = 12.

Відповідь:

12 км/год і 16 км/год.

Завдання 25.36

Життєва математика: накопичення на ноутбук

Зарплата 18 000 грн, утримують 18 % ПДФО і 1,5 % військового збору. Менеджер відкладає 10 % від отриманого. Ноутбук коштує 13 500 грн, співробітникам знижка 15 %. Через скільки місяців він купить ноутбук?

Розв’язання

На руки: 18 000 · (1 − 0,195) = 14 490 грн; відкладає 1449 грн на місяць.
Ціна зі знижкою: 13 500 · 0,85 = 11 475 грн.
11 475 : 1449 ≈ 7,9: за 7 місяців — 10 143 грн (мало), за 8 — 11 592 грн.

Відповідь:

Через 8 місяців.