ГДЗ Алгебра 8 клас Істер — сторінка 184

Завдання 22.10

Корені підбором (2)

1) $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ ; 2) $x^{2} - x - 6 = 0$ ; 3) $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ; 4) $x^{2} - 12 x + 27 = 0$ ; 5) $x^{2} + x - 6 = 0$ ; 6) $x^{2} + 9 x - 22 = 0$ .

Розв’язання

1) 1; 4. 2) 3; −2. 3) −1; −3.
4) 3; 9. 5) 2; −3. 6) 2; −11.

Відповідь:

1; 4 | 3; −2 | −1; −3 | 3; 9 | 2; −3 | 2; −11.

Завдання 22.11

Корені різних знаків

Доведіть, що $12 x^{2} + 17 x - 389 = 0$ не може мати коренів одного знака.

Розв’язання

$D = 1 7^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 389 > 0$ , отже, корені є.
$x_{1} x_{2} = - \frac{389}{12} < 0$ — добуток від’ємний, тож корені різних знаків.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 22.12

Знаки коренів (1)

1) $x^{2} + 8 x + 5 = 0$ ; 2) $x^{2} - 12 x - 1 = 0$ ; 3) $3 x^{2} + 14 x - 7 = 0$ ; 4) $4 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ .

Розв’язання

1) D = 44 > 0, добуток 5 > 0, сума −8 — обидва від’ємні.
2) Добуток −1 — різних знаків.
3) Добуток $- \frac{7}{3}$ — різних знаків.
4) $D = 17 > 0$ , добуток $\frac{1}{2}$ , сума $\frac{7}{4}$ — обидва додатні.

Відповідь:

1) обидва «−»; 2), 3) різних; 4) обидва «+».

Завдання 22.13

Чи є корені і які знаки (2)

1) $x^{2} - 13 x - 2 = 0$ ; 2) $x^{2} + 17 x + 1 = 0$ ; 3) $5 x^{2} - 14 x + 1 = 0$ ; 4) $3 x^{2} + 7 x - 18 = 0$ .

Розв’язання

1) ac < 0 — корені є, різних знаків.
2) D = 285 > 0, добуток 1, сума −17 — обидва від’ємні.
3) D = 176 > 0, добуток 0,2, сума 2,8 — обидва додатні.
4) Добуток −6 — корені є, різних знаків.

Відповідь:

1), 4) різних; 2) обидва «−»; 3) обидва «+».

Завдання 22.14

Знайти q і другий корінь

Один з коренів $x^{2} + 6 x + q = 0$ дорівнює −3,5.

Розв’язання

$x_{2} = - 6 + 3, 5 = - 2, 5$ ; $q = x_{1} x_{2} = 8, 75$ .

Відповідь:

q = 8,75; x₂ = −2,5.

Завдання 22.15

Знайти p і другий корінь

Один з коренів $x^{2} + p x - 9 = 0$ дорівнює 1,5.

Розв’язання

$x_{2} = - 9 : 1, 5 = - 6$ ; $p = - (x_{1} + x_{2}) = - (1, 5 - 6) = 4, 5$ .

Відповідь:

p = 4,5; x₂ = −6.

Завдання 22.16

Умова 2x₁ + 5x₂ = 0

Корені $x^{2} + p x - 10 = 0$ задовольняють $2 x_{1} + 5 x_{2} = 0$ . Знайдіть корені і p.

Розв’язання

$- 2, 5 x_{2}^{2} = - 10$ , $x_{2}^{2} = 4$ , $x_{2} = \pm 2$ .
$x_{2} = 2$ : $x_{1} = - 5$ , $p = - (x_{1} + x_{2}) = 3$ .
$x_{2} = - 2$ : $x_{1} = 5$ , $p = - 3$ .

Відповідь:

−5 і 2, p = 3 або 5 і −2, p = −3.

Завдання 22.17

Умова 2x₁ − 3x₂ = 13

Корені $x^{2} - 4 x + q = 0$ задовольняють $2 x_{1} - 3 x_{2} = 13$ . Знайдіть корені і q.

Розв’язання

$x_{1} = 4 - x_{2}$ : $8 - 2 x_{2} - 3 x_{2} = 13$ , $x_{2} = - 1$ , $x_{1} = 5$ .
$q = x_{1} x_{2} = - 5$ .

Відповідь:

x₁ = 5, x₂ = −1, q = −5.

Завдання 22.18

Рівняння з цілими коефіцієнтами (1)

Корені: 1) $- \frac{1}{3}$ і 5; 2) $- \frac{1}{4}$ і $- \frac{5}{6}$ ; 3) $5$ і $- 5$ ; 4) $2 - 3$ і $2 + 3$ .

Розв’язання

1) Сума $\frac{14}{3}$ , добуток $- \frac{5}{3}$ : $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ .
2) Сума $- \frac{13}{12}$ , добуток $\frac{5}{24}$ : $24 x^{2} + 26 x + 5 = 0$ .
3) $x^{2} - 5 = 0$ ; 4) сума 4, добуток 1: $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 22.19

Рівняння з цілими коефіцієнтами (2)

Корені: 1) −2 і $\frac{1}{3}$ ; 2) $\frac{1}{8}$ і $\frac{1}{2}$ ; 3) $- 7$ і $7$ ; 4) $3 + 7$ і $3 - 7$ .

Розв’язання

1) Сума $- \frac{5}{3}$ , добуток $- \frac{2}{3}$ : $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ .
2) Сума $\frac{5}{8}$ , добуток $\frac{1}{16}$ : $16 x^{2} - 10 x + 1 = 0$ .
3) $x^{2} - 7 = 0$ ; 4) сума 6, добуток 2: $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 22.20

Вирази від коренів x² + 4x − 3 = 0

1) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ ; 2) $x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{1}$ ; 3) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ; 4) $\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}}$ ; 5) $\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}$ ; 6) $(x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Розв’язання

1) $\frac{s}{p} = \frac{4}{3}$ ; 2) $p s = 12$ ; 3) $16 + 6 = 22$ .
4) $\frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{p} = - \frac{22}{3}$ ; 5) $\frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{p ^{2}} = \frac{22}{9}$ ; 6) $16 + 12 = 28$ .

Відповідь:

$\frac{4}{3}$ ; 12; 22; $- \frac{22}{3}$ ; $\frac{22}{9}$ ; 28.

Завдання 22.21

Вирази від коренів x² − 5x − 2 = 0

1) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ ; 2) $x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{1}$ ; 3) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ; 4) $\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}}$ ; 5) $\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}$ ; 6) $(x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Розв’язання

1) $- \frac{5}{2}$ ; 2) −10; 3) 25 + 4 = 29.
4) $- \frac{29}{2}$ ; 5) $\frac{29}{4}$ ; 6) 25 + 8 = 33.

Відповідь:

−2,5; −10; 29; −14,5; 7,25; 33.