Завдання 7.23, § 7. Тотожні перетворення раціональних виразів — ГДЗ Алгебра 8 клас Істер

§ 7. Тотожні перетворення раціональних виразів Завдання 7.23 с. 58

Не залежить від змінних (десяткові)

Умова

Доведіть, що $\frac{8}{4 a - b} : (\frac{2 a - 0 , 5 b}{4 a ^{2} + ab + 0 , 25 b ^{2}} + \frac{24 ab}{64 a ^{3} - b ^{3}} + \frac{1}{2 a - 0 , 5 b})$ не залежить від змінних.

Що треба знати

Щоб довести тотожність, перетворюємо ліву частину до правої. Щоб довести, що значення не залежить від змінної, спрощуємо вираз до числа. $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$ , $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ , $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Познач $u = 2 a$ , $v = 0, 5 b$ : $4 a^{2} + ab + 0, 25 b^{2} = u^{2} + uv + v^{2}$ , $64 a^{3} - b^{3} = 8 (u^{3} - v^{3})$ .

Розв’язання крок за кроком

Дужка: $\frac{u - v}{u ^{2} + uv + v ^{2}} + \frac{3 uv}{u ^{3} - v ^{3}} + \frac{1}{u - v} = \frac{( u - v ) ^{2} + 3 uv + u ^{2} + uv + v ^{2}}{u ^{3} - v ^{3}} = \frac{2 ( u ^{2} + uv + v ^{2} )}{u ^{3} - v ^{3}} = \frac{2}{u - v}$ .
$4 a - b = 2 (u - v)$ , тож $\frac{8}{4 a - b} = \frac{4}{u - v}$ .
$\frac{4}{u - v} : \frac{2}{u - v} = 2$ .

Відповідь:

Значення завжди 2.

Розбір зрозумілий?